相互インダクタンスMと結合係数k｜「2つのコイルの磁気的つながり」を完全図解

😣 こんな経験はありませんか？

「相互インダクタンスM」と言われても、何が"相互"なのかイメージできない
「結合係数k」の公式 M = k√(L₁L₂) を丸暗記しているけど、意味がわからない
和動接続・差動接続で「+2M」「-2M」のどっちだっけ？と毎回迷う
自己インダクタンスは理解できたのに、相互になった瞬間にわからなくなる

✅ この記事でわかること

相互インダクタンスMとは「2つのコイルの磁気的つながりの強さ」
結合係数kとは「磁束の何%が相手に届いているか」
和動接続・差動接続の公式の"意味"と覚え方
計算例つきで、試験問題を自力で解けるようになる

📌 この記事の結論

相互インダクタンスMは「コイル1が作った磁束のうち、コイル2まで届いた分」を数値化したものです。2つのコイルを直列接続すると、磁束が強め合う「和動接続」ではMがプラスに働き、打ち消し合う「差動接続」ではMがマイナスに働きます。結合係数kは「磁束の届き具合（0〜100%）」を表すパーセンテージのようなもの。これらを「磁束の行き先」のイメージで理解すれば、公式の丸暗記から卒業できます。

前回の記事では、自己インダクタンスLについて学びました。コイル1個が「自分で作った磁束で、自分に電圧を誘導する」という現象でしたね。

今回は、その発展形。コイルが2個になったときに何が起きるのか？を徹底解説します。

変圧器（トランス）の原理そのものであり、電験三種では和動接続・差動接続の計算問題が繰り返し出題されている超頻出テーマです。この記事で確実にマスターしましょう。

🔗 「相互誘導」とは何か？｜自己誘導との違い
- 自己誘導＝一人芝居、相互誘導＝キャッチボール
- 相互誘導のメカニズム（4ステップ）
📐 相互インダクタンスMとは？｜定義と公式
📊 結合係数kとは？｜磁束の「到達率」
- kは「磁束が何%相手に届いたか」を表す
- kの値が意味すること
🎯 磁束の「行き先」を整理しよう｜漏れ磁束と結合磁束
- コイル1が作る磁束の内訳
⚡ 和動接続・差動接続｜2つのコイルを直列につなぐ2つの方法
🧮 試験テクニック｜和動と差動の式からMを求める方法
- 和動と差動の「差」からMが求まる
- 同様に L₁ + L₂ も求まる
🧮 計算例①｜基本問題：合成インダクタンスを求める
- 解答（1）和動接続
- 解答（2）差動接続
🧮 計算例②｜試験頻出：和動・差動から結合係数kを求める
- 解答：ステップバイステップ
📌 まとめ｜公式チートシート
- 📚 次に読むべき記事

🔗 「相互誘導」とは何か？｜自己誘導との違い

自己誘導＝一人芝居、相互誘導＝キャッチボール

自己インダクタンスの記事で学んだ「自己誘導」は、コイル1個が自分自身に電圧を誘導する現象でした。いわば「一人芝居」です。

一方、「相互誘導」は2つのコイルの間で起きる現象です。コイル1が作った磁束がコイル2を貫き、コイル2に電圧が発生する。まさに磁束のキャッチボールです。

🔄

自己誘導

コイル 1個
自分の磁束で自分に電圧発生
強さ → 自己インダクタンスL
イメージ：「一人芝居」

🔗

相互誘導

コイル 2個
一方の磁束でもう一方に電圧発生
強さ → 相互インダクタンスM
イメージ：「磁束のキャッチボール」

相互誘導のメカニズム（4ステップ）

STEP 1

コイル1に電流 i₁ を流す
→ コイル1の周りに磁束 Φ₁ が発生する

STEP 2

磁束 Φ₁ の一部がコイル2を貫く
→ この「届いた磁束」を Φ₁₂ と呼ぶ（1→2に届いた磁束）

STEP 3

コイル1の電流 i₁ が変化する
→ コイル2を貫く磁束 Φ₁₂ も変化する

STEP 4

コイル2に電圧（起電力）が発生！
→ ファラデーの法則により、磁束の変化が電圧を生む

☕ 生産ラインのたとえ話

工場のライン1（コイル1）が稼働すると「振動」（磁束）が発生しますよね。その振動が床を伝わって隣のライン2（コイル2）にも伝わり、ライン2の計器が反応する——これが「相互誘導」のイメージです。振動の伝わり方が強いほど、相互インダクタンスMが大きいということです。

🔧 実務ではどこに出てくる？
相互誘導の最も身近な応用は変圧器（トランス）です。1次コイルの電流変化が磁束を通じて2次コイルに電圧を生む。これが変圧器の原理そのものです。詳しくは変圧器の基本原理の記事で解説しています。

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📐 相互インダクタンスMとは？｜定義と公式

Mの定義式

📐 相互インダクタンスの定義

M =

N₂ × Φ₁₂

I₁

[H]

M：相互インダクタンス [H]　N₂：コイル2の巻数　Φ₁₂：コイル1→2に届いた磁束 [Wb]　I₁：コイル1の電流 [A]

この式を言葉にすると——

「コイル1に1Aの電流を流したとき、コイル2にどれだけの磁束鎖交が届くか」

つまりMは、2つのコイルの「磁気的なつながりの強さ」を数値化したものです。

自己インダクタンスLとの比較で理解する

項目	自己インダクタンス L	相互インダクタンス M
定義	L = NΦ / I	M = N₂Φ₁₂ / I₁
意味	自分→自分への磁束鎖交	自分→相手への磁束鎖交
たとえ	「自分の声が自分の耳に響く」	「自分の声が隣の人に届く」
単位	[H]（ヘンリー）	[H]（ヘンリー）← 同じ
コイルの数	1個	2個

相互誘導起電力の公式

コイル1の電流が変化したとき、コイル2に誘導される電圧は次の式で表されます。

📐 相互誘導起電力
e₂ = -M × (di₁/dt)

e₂：コイル2に発生する起電力 [V]　M：相互インダクタンス [H]
di₁/dt：コイル1の電流の時間変化率 [A/s]

自己誘導起電力の公式 e = -L(di/dt) と形がそっくりですよね。違いは「Lの代わりにM」「自分の電流変化ではなく、相手の電流変化」という2点だけです。

💡 試験でのポイント
マイナスの意味はレンツの法則と同じ。「磁束の変化を打ち消す向き」に電圧が発生します。試験では大きさ（絶対値）を問われることが多いので、符号を気にしすぎる必要はありません。

📊 結合係数kとは？｜磁束の「到達率」

kは「磁束が何%相手に届いたか」を表す

コイル1が作った磁束Φ₁のうち、すべてがコイル2に届くとは限りません。一部は空気中に漏れてしまいます。

この「届いた割合」を表すのが結合係数kです。

📐 結合係数の公式

M = k√(L₁ × L₂)

k：結合係数（0 ≤ k ≤ 1）　L₁, L₂：各コイルの自己インダクタンス [H]

∴ k = M / √(L₁ × L₂)

kの値が意味すること

kの値	意味	具体例
k = 1	磁束が100%相手に到達（漏れゼロ）	理想的な鉄心入り変圧器
0 < k < 1	磁束の一部が漏れている	実際の変圧器（k ≈ 0.95〜0.99）
k = 0	磁束がまったく届かない（結合なし）	2つのコイルが遠く離れている

☕ 工場のたとえ話

k = 1 は、ライン1の振動が床を通じて100%ライン2に伝わる状態。k = 0.5 は、途中の防振ゴムで半分吸収されて50%しか伝わらない状態。kが大きいほど「コイル同士の磁気的な絆が強い」と覚えてください。

💡 kを大きくする方法
① 鉄心を使って磁束の通り道を作る（漏れ磁束が減る）
② 2つのコイルを近づける
③ 2つのコイルを同じ鉄心に巻く（変圧器の構造）

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🎯 磁束の「行き先」を整理しよう｜漏れ磁束と結合磁束

相互インダクタンスと結合係数を深く理解するカギは、磁束の行き先を追いかけることです。

コイル1が作る磁束の内訳

コイル1に電流 i₁ を流すと、磁束 Φ₁ が発生します。この磁束には2つの「行き先」があります。

🧲

Φ₁（全磁束）

コイル1が作る
磁束の総量

→

Φ₁₂（結合磁束）

コイル2に届いた磁束

Φ漏れ（漏れ磁束）

コイル2に届かなかった磁束

📐 まとめると
Φ₁ = Φ₁₂ + Φ漏れ

結合係数 k = Φ₁₂ / Φ₁ 　（＝届いた割合）

k = 1 なら Φ漏れ = 0（全部届く）。k = 0 なら Φ₁₂ = 0（全部漏れる）。この「磁束の行き先」のイメージさえ持てば、結合係数の問題は怖くありません。

💡 試験での出題パターン
「Φ₁ = 0.01Wb、そのうち Φ₁₂ = 0.008Wb がコイル2に鎖交した。結合係数kを求めよ。」
→ k = 0.008 / 0.01 = 0.8　このタイプの問題は磁束の行き先を整理するだけで解けます。

⚡ 和動接続・差動接続｜2つのコイルを直列につなぐ2つの方法

ここからが電験三種で最も出題される部分です。2つのコイルを直列に接続する方法は2種類あり、磁束の向きによって合成インダクタンスがまったく違う値になります。

和動接続＝磁束が「味方同士」で強め合う

2つのコイルが作る磁束が同じ方向を向く接続が「和動接続」です。磁束が互いに強め合うので、合成インダクタンスは大きくなります。

和動接続の合成インダクタンス

L_和 = L₁ + L₂ + 2M

磁束が強め合う → Mの分だけプラス

差動接続＝磁束が「敵同士」で打ち消し合う

2つのコイルが作る磁束が反対方向を向く接続が「差動接続」です。磁束が互いに打ち消し合うので、合成インダクタンスは小さくなります。

差動接続の合成インダクタンス

L_差 = L₁ + L₂ - 2M

磁束が打ち消し合う → Mの分だけマイナス

一覧表で比較する

項目	和動接続	差動接続
磁束の向き	同じ方向（→→）	反対方向（→←）
磁束の関係	強め合う	打ち消し合う
合成インダクタンス	L₁ + L₂ + 2M	L₁ + L₂ - 2M
Mの効果	+2M（増える）	-2M（減る）
合成値の大小	大きい	小さい

☕ なぜ「2M」なのか？

「2」が付く理由は、相互作用が双方向だからです。コイル1→コイル2 とコイル2→コイル1 の2方向で磁束が影響し合うため、Mが2倍になります。これは抵抗の直列接続（R₁ + R₂）と違い、コイルには「お互いに影響し合う」という特別な関係があるためです。

💡 最強の覚え方
「和動 = 和（わ）= +(プラス)」「差動 = 差（さ）= -(マイナス)」
「和」は足す、「差」は引く。名前の中に答えが入っています。これだけで一生忘れません。

🧮 試験テクニック｜和動と差動の式からMを求める方法

電験三種では「和動接続のインダクタンスと差動接続のインダクタンスが与えられて、Mやkを求める」パターンが頻出です。このテクニックは必ず押さえておきましょう。

和動と差動の「差」からMが求まる

和動接続と差動接続の式を並べてみます。

L_和 = L₁ + L₂ + 2M … ①

L_差 = L₁ + L₂ - 2M … ②

① - ② を計算すると：

L_和 - L_差 = 4M

📐 超重要公式

M =

L_和 - L_差

和動と差動のインダクタンスが分かれば、Mは引いて4で割るだけ！

同様に L₁ + L₂ も求まる

① + ② を計算すると：

L_和 + L_差 = 2(L₁ + L₂)

∴ L₁ + L₂ = (L_和 + L_差) / 2

この2つのテクニックをセットで覚えておけば、和動・差動の値からM、L₁+L₂、さらにkまですべて芋づる式に求められます。

💡 整理すると…
引き算（① - ②） → M が求まる
足し算（① + ②） → L₁ + L₂ が求まる
この「引き算＝M、足し算＝L」のペアで覚えましょう。

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🧮 計算例①｜基本問題：合成インダクタンスを求める

📝 例題1

自己インダクタンスがそれぞれ L₁ = 8H、L₂ = 2H の2つのコイルがあり、相互インダクタンスは M = 3H である。
（1）和動接続の合成インダクタンスを求めよ。
（2）差動接続の合成インダクタンスを求めよ。

解答（1）和動接続

L_和 = L₁ + L₂ + 2M

L_和 = 8 + 2 + 2×3

L_和 = 10 + 6

L_和 = 16 H

解答（2）差動接続

L_差 = L₁ + L₂ - 2M

L_差 = 8 + 2 - 2×3

L_差 = 10 - 6

L_差 = 4 H

💡 答え合わせのコツ
必ず L_和 > L_差 になるはずです（Mは正の値なので）。もし L_差 > L_和になったら、どこかで符号を間違えています。
今回：16H > 4H → ✅ 正しい。

ちなみに、検算として先ほどのテクニックを使うと——

M = (L_和 - L_差) / 4 = (16 - 4) / 4 = 3H ✅ 問題文と一致！

🧮 計算例②｜試験頻出：和動・差動から結合係数kを求める

📝 例題2（令和4年上期問3 類題）

環状鉄心に2つのコイルが巻いてある。端子の接続を変えて測定したところ、
和動接続のインダクタンス L_和 = 22 mH
差動接続のインダクタンス L_差 = 2 mH
であった。自己インダクタンスが L₁ = 10 mH、L₂ = 2 mH のとき、結合係数 k を求めよ。

解答：ステップバイステップ

STEP 1：Mを求める

M = (L_和 - L_差) / 4

M = (22 - 2) / 4

M = 20 / 4

M = 5 mH

STEP 2：kの公式に代入する

k = M / √(L₁ × L₂)

k = 5 / √(10 × 2)

k = 5 / √20

k = 5 / 4.47...

STEP 3：答え

k ≈ 1.12 → あれ？k > 1 になってしまった！

⚠️ ここが引っかけポイント！

k > 1 は物理的にあり得ません（0 ≤ k ≤ 1）。答えが1を超えた場合は、L₁ と L₂ の値を問題文からそのまま使ってはいけないケースです。

実際の試験（R4上期問3）では、コイルの配置から和動・差動のどちらかを見抜き、連立方程式で L₁, L₂ を求める必要がありました。問題文をよく読み、与えられた条件を正確に整理することが大切です。

ここでは、正しいL₁, L₂が与えられた場合の計算手順を確認しましょう。

📝 修正版：正しい数値での計算

L₁ = 8 mH、L₂ = 4 mH、M = 5 mH のとき、kを求めよ。

k = M / √(L₁ × L₂)

k = 5 / √(8 × 4)

k = 5 / √32

k = 5 / 5.66

k ≈ 0.884 ✅（0 ≤ k ≤ 1 の範囲内）

💡 計算のコツ
√の計算が面倒なときは、√(L₁×L₂) の部分を先に二乗で検算する。k = M / √(L₁L₂) → k² = M² / (L₁L₂) とすれば、ルートを避けて検算できます。
上の例：k² = 25/32 = 0.781 → k = √0.781 ≈ 0.884

📌 まとめ｜公式チートシート

📋 相互インダクタンス・結合係数公式一覧

公式名	式
相互インダクタンス（定義）	M = N₂Φ₁₂ / I₁ [H]
相互誘導起電力	e₂ = -M(di₁/dt) [V]
結合係数	M = k√(L₁L₂)　→ k = M / √(L₁L₂)
和動接続	L_和 = L₁ + L₂ + 2M
差動接続	L_差 = L₁ + L₂ - 2M
MをL_和・L_差から求める	M = (L_和 - L_差) / 4