【電験三種・理論】磁界中の荷電粒子の円運動｜ローレンツ力と円運動半径の求め方を完全図解

• 「磁界中で電子が円運動する」と言われても、なぜ「円」になるのかイメージできない
• r = mv/(eB) の公式を丸暗記しているけど、どう導出したのかわからない
• 電界中の電子の運動（eV = ½mv²）との違いがごちゃごちゃになる
• 過去問で「円運動の半径を求めよ」が出たとき、どの公式から攻めればいいか迷う

• 磁界中で荷電粒子が「なぜ円を描くのか」を直感的に理解
• r = mv/(eB) の公式を「向心力 = ローレンツ力」から自力で導出
• 電界中と磁界中の違いを比較表で整理
• 試験に出る3つの計算パターンを例題つきで完全マスター

※ 速度vと磁界Bが垂直な場合の式です（電験三種ではほぼこの条件で出題されます）

STEP 1：ローレンツ力を書く

f = evB

STEP 2：向心力を書く

f = mv²/r

（質量mの物体が半径rで速度vの円運動をするときに必要な力）

STEP 3：両者を等しいとおいて、rについて解く

evB = mv²/r

r = mv²/(evB)

r = mv/(eB)

m：質量 [kg]　v：速度 [m/s]　e：電荷 [C]　B：磁束密度 [T]

円周の長さ = 2πr、速さ = v なので、1周にかかる時間Tは

T = 2πr / v

ここで r = mv/(eB) を代入すると

T = 2π × mv/(eB) / v = 2πm/(eB)

速度 v = 4.0×10⁶ m/s の電子が、磁束密度 B = 0.2 T の一様な磁界中に、磁界と垂直に入射した。
電子の円運動の半径 r [m] を求めよ。
ただし、e = 1.6×10⁻¹⁹ C、m = 9.1×10⁻³¹ kg とする。

STEP 1：公式を書く

r = mv/(eB)

STEP 2：分子（mv）を計算

mv = 9.1×10⁻³¹ × 4.0×10⁶
= 36.4 × 10⁻²⁵
= 3.64 × 10⁻²⁴ [kg·m/s]

STEP 3：分母（eB）を計算

eB = 1.6×10⁻¹⁹ × 0.2
= 3.2 × 10⁻²⁰ [C·T]

STEP 4：割り算

r = 3.64×10⁻²⁴ / 3.2×10⁻²⁰
= (3.64/3.2) × 10⁻²⁴⁺²⁰
= 1.14 × 10⁻⁴

r ≈ 1.14 × 10⁻⁴ m ≈ 0.114 mm

静止していた電子を V = 200V の電位差で加速した後、磁束密度 B = 0.1T の一様な磁界中に垂直に入射させた。電子が描く円運動の半径 r を求めよ。
ただし、e = 1.6×10⁻¹⁹ C、m = 9.1×10⁻³¹ kg とする。

前半：電界での加速 → 速度vを求める

eV = ½mv²
v = √(2eV/m)
= √(2 × 1.6×10⁻¹⁹ × 200 / 9.1×10⁻³¹)
= √(6.4×10⁻¹⁷ / 9.1×10⁻³¹)
= √(7.03×10¹³)
≈ 8.39 × 10⁶ m/s

後半：磁界での円運動 → 半径rを求める

r = mv/(eB)
= 9.1×10⁻³¹ × 8.39×10⁶ / (1.6×10⁻¹⁹ × 0.1)
= 7.63×10⁻²⁴ / 1.6×10⁻²⁰
= 4.77 × 10⁻⁴

r ≈ 4.8 × 10⁻⁴ m ≈ 0.48 mm

🔑 絶対に覚える3つのルール：

① 導出は「ローレンツ力 = 向心力」の1本の等式から出発する
② 半径rは速度vに比例（v↑ → r↑）、磁束密度Bに反比例（B↑ → r↓）
③ 周期Tは速度vに依存しない（速くても遅くても1周の時間は同じ）

• 磁界中の荷電粒子にはローレンツ力 f = evB が働き、これが向心力となって円運動を引き起こす
• ローレンツ力は速度に常に垂直 → 速さは変えず、向きだけ変える → 等速円運動
• 円運動の半径は r = mv/(eB)。重い・速い粒子は大きな円、強い磁界は小さな円
• 周期は T = 2πm/(eB) で速度に依存しない（サイクロトロンの原理）
• 電界は粒子を「加速」し、磁界は粒子を「曲げる」。役割が違う
• 「電界で加速 → 磁界で円運動」の組み合わせ問題は、eV = ½mv² で v を求めてから r = mv/(eB) に代入

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