こんにちは、シラスです。
前回まで、A工場とB工場のような「別々のグループ」を比較するt検定を紹介してきました。
しかし、実務や研究の世界では、もっと「強力な比較」ができるシチュエーションがあります。
それは、データが「ペア（対応）」になっている場合です。
- 🏃♂️ 「ダイエット前」と「ダイエット後」の体重
- 💊 「投薬前」と「投薬後」の血圧
- 👟 「右足」の靴底と「左足」の靴底の減り方
このように、同一の対象からデータを取れるとき、私たちは「対応のあるt検定」という最強の武器を使うことができます。
なぜ「最強」なのか？
それは、データの天敵である「個人差（バラつき）」を消し去ることができるからです。
目次
1. そもそも「対応がある」とは？
まずはイメージを掴みましょう。
新しいダイエットサプリの効果を検証するとします。
ダメな比較（対応なし）
- Aさん、Bさん、Cさんには「サプリ」を飲ませる。
- Dさん、Eさん、Fさんには「偽薬」を飲ませる。
これだと、「Aさんが元々100kg」で「Dさんが元々50kg」だった場合、元々の体重差（個人差）が大きすぎて、サプリの効果（-2kg程度）が埋もれてしまいます。
良い比較（対応あり）
- Aさんの「飲む前」と「飲んだ後」を比べる。
- Bさんの「飲む前」と「飲んだ後」を比べる。
これなら、元々太っていようが痩せていようが関係ありません。
「その人がどう変化したか」だけを見ることができるからです。
2. 魔法のロジック：「差分」をとる
対応のあるt検定の計算は、驚くほどシンプルです。
- ペアごとに引き算をして、「差（$d$）」を求める。
- その「差（$d$）」の平均値が、0（ゼロ）と違うかを検定する。
つまり、2つのデータを比較しているようで、実は「差分データを使った、一標本のt検定」を行っているのと同じなのです。
計算式
- $\bar{d}$：差の平均値
- $s_d$：差の標準偏差
- $n$：ペアの数
以前紹介した「一標本のt検定」の公式（$x$ が $d$ になっただけ）と全く同じ形ですね。
3. なぜ「最強」なのか？（ノイズキャンセリング）
この手法が優れている理由は、分母（標準誤差）が劇的に小さくなるからです。
普通のt検定では、分母に「個人差（体重のバラつき）」が含まれます。
しかし、対応のあるt検定では、引き算をした時点で「個人差」が消滅しています。
分母（ノイズ）が小さい
⬇
t値（シグナル）が巨大になる
⬇
微小な差でも「有意差あり」を見つけられる！
4. 実践：ダイエットの成果を検定する
具体的なデータで計算してみましょう。
| 被験者 | Before | After | 差 ($d$) |
|---|---|---|---|
| Aさん | 80kg | 78kg | -2 |
| Bさん | 60kg | 59kg | -1 |
| Cさん | 90kg | 87kg | -3 |
Before/Afterの体重自体はバラバラ（60kg〜90kg）ですが、差（$d$）を見ると「全員減っている」ことが分かりますね。
ステップ1：差の平均と分散を出す
- 差データ： $\{-2, -1, -3\}$
- 平均 $\bar{d}$： $-2.0$
- 標準偏差 $s_d$： $1.0$
- データ数 $n$： $3$
ステップ2：t値を計算する
ステップ3：判定
自由度はペアの数から1引くので、$3 - 1 = 2$ です。
自由度2、有意水準5%の基準値は 4.303 です。
おっと！今回は $|-3.46| < 4.303$ なので、有意差なしとなってしまいました。
（※さすがにデータ数3人では少なすぎましたね。あと2人くらい同じ傾向なら有意になります）
まとめ
実験を計画するときは、可能な限り「ペアでデータが取れないか？」を考えてみてください。
もしペアで取れるなら、必要なサンプル数を劇的に減らすことができます。
さて、ここまで様々な検定で「差がある！」ことを証明してきました。
しかし、上司が本当に知りたいのは「差があるか？」ではなく、「で、結局どれくらい効果（メリット）があるの？」という具体的な数値です。
次回、検定シリーズ完結編。
「真の平均値はどこにある？」を予測する、母平均の区間推定について解説します。