【QC検定】確率変数の「積」の期待値と分散｜V(XY)の公式を完全図解

😵 こんな悩みはありませんか？

V(XY)の公式、なんでこんなに複雑なの？
「和」の分散と「積」の分散、何が違うの？
E(Y)²とかE(X)²が出てくる理由がわからない…
QC検定1級の計算問題で、どこから手をつければいいかわからない

✅ この記事でわかること

確率変数の「積」E(XY)とV(XY)の公式
なぜV(XY)が「3つの項」の和になるのか、直感的な理由
「和」と「積」の公式の違いを一発で理解する比較表
QC検定1級レベルの計算問題をStep by Stepで攻略

QC検定1級や統計検定を勉強していると、こんな公式に出会いませんか？

📐 確率変数の積 XY の分散

V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y)

※ XとYが独立な場合

「え、なにこれ？」「和の分散はV(X)+V(Y)でシンプルだったのに…」

そう思いますよね。私も最初は全く理解できませんでした。

でも、この公式には「ちゃんとした理由」があります。

この記事では、「なぜこんな複雑な式になるのか」をイメージで徹底解説します。丸暗記ではなく、「なるほど、だからこうなるのか」と腑に落ちる説明を目指します。

📘 前提知識：まずこちらを読むと理解が深まります
第9回：分散の加法性｜「独立」なら足せる！バラつきの合成法則を徹底解説 →

🎯 まず結論：「和」と「積」の公式を比較しよう
🧮 期待値の積：E(XY) = E(X) × E(Y)
- 独立なら「期待値の積」＝「積の期待値」
- 🎯 たとえ話：サイコロ2個の積
📊 分散の積：なぜ「3つの項」になるのか？
- V(XY)の公式を分解して理解する
- 🏭 たとえ話：長方形の面積で考える
📝 V(XY)の公式を数学的に導出する
- 導出のステップ
✏️ 例題で完全マスター｜QC検定1級レベル
- 例題：製品の総出荷量を計算せよ
- 解答：Step by Step
📚 まとめ｜確率変数の「積」の公式

🎯 まず結論：「和」と「積」の公式を比較しよう

最初に、「和」と「積」の公式の違いを明確にしましょう。

これを頭に入れておくと、「なぜ積は複雑なのか」がわかりやすくなります。

項目	和 X + Y	積 XY
期待値	E(X+Y) = E(X) + E(Y) 常に成立	E(XY) = E(X) × E(Y) 独立のみ成立
分散（独立時）	V(X+Y) = V(X) + V(Y) ✓ シンプル！	V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y) ⚠️ 3項ある！
計算の複雑さ	★☆☆ 足すだけ	★★★ 期待値の2乗も使う

ポイントは、「積」の分散には3つの項があること。

なぜ3つなのか？それを次のセクションで解説します。

🧮 期待値の積：E(XY) = E(X) × E(Y)

まず、期待値（平均）から見ていきましょう。こちらは比較的シンプルです。

独立なら「期待値の積」＝「積の期待値」

XとYが独立なら、以下の公式が成り立ちます。

📐 期待値の積（独立な場合）

E(XY) = E(X) × E(Y)

※ XとYが独立な場合のみ成立

これは直感的に理解しやすいですね。

🎯 たとえ話：サイコロ2個の積

サイコロを2個振って、出た目を掛け算する場合を考えましょう。

サイコロXの期待値：E(X) = 3.5
サイコロYの期待値：E(Y) = 3.5
XとYは独立（一方の出目が他方に影響しない）

このとき、積XYの期待値は：

E(XY) = E(X) × E(Y) = 3.5 × 3.5 = 12.25

「平均的に、積は12.25くらいになる」ということです。

⚠️ 注意：独立でない場合
XとYが独立でない（相関がある）場合は、E(XY) ≠ E(X)×E(Y) となります。
この場合は E(XY) = E(X)E(Y) + Cov(X,Y) という式を使います。

📊 分散の積：なぜ「3つの項」になるのか？

さて、ここからが本題です。

V(XY)はなぜ複雑な式になるのか？を、イメージで理解していきましょう。

V(XY)の公式を分解して理解する

V(XY)の公式をもう一度見てみましょう。

📐 確率変数の積の分散（独立な場合）

V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y)

この3つの項、それぞれに「意味」があります。

項	式	意味（イメージ）
第1項	V(X)V(Y)	XもYも両方バラつくことによる影響
第2項	{E(Y)}²V(X)	Yは平均で固定、Xだけバラつくことによる影響
第3項	{E(X)}²V(Y)	Xは平均で固定、Yだけバラつくことによる影響

🏭 たとえ話：長方形の面積で考える

「積のバラつき」を理解するために、長方形の面積で考えてみましょう。

長方形の面積 = 縦 × 横です。

縦の長さ X：平均 E(X)、バラつき V(X)
横の長さ Y：平均 E(Y)、バラつき V(Y)
面積 XY：そのバラつき V(XY) は？

面積のバラつきには、3つの「源泉」があります。

💡 面積のバラつきの3つの源泉
① 縦も横も両方バラつく → 面積のバラつきに影響
② 横が平均的な長さのとき、縦だけバラつく → 面積のバラつきに影響
③ 縦が平均的な長さのとき、横だけバラつく → 面積のバラつきに影響

この3つを合計したものが、V(XY)なのです。

📘 「和」のバラつきとの比較
【QC検定1級】確率変数の和の平均・分散・共分散｜部品組立問題を完全攻略 →

📝 V(XY)の公式を数学的に導出する

イメージで理解したところで、次は数学的な導出を見てみましょう。

「なぜこの式になるのか」を論理的に追うことで、より深い理解が得られます。

導出のステップ

Step 1：分散の定義を思い出す

分散の定義は「期待値からのズレの2乗の期待値」です。

📐 分散の定義

V(XY) = E[(XY)²] − {E(XY)}²

この公式を使って、V(XY)を展開していきます。

Step 2：E[(XY)²]を計算する

XとYが独立なので、(XY)² = X²Y² も独立な変数の積です。

独立なら E[X²Y²] = E[X²] × E[Y²] が成り立つので：

E[(XY)²] = E[X²] × E[Y²]

Step 3：E[X²]を分散で表す

ここで、重要な変形を使います。

分散の定義 V(X) = E[X²] − {E(X)}² を変形すると：

📐 重要な変形

E[X²] = V(X) + {E(X)}²

「2乗の期待値」＝「分散」＋「期待値の2乗」

同様に E[Y²] = V(Y) + {E(Y)}² です。

Step 4：代入して展開する

Step 2の式に代入します。

E[(XY)²] = E[X²] × E[Y²]
　　　　= {V(X) + E(X)²} × {V(Y) + E(Y)²}
　　　　= V(X)V(Y) + V(X)E(Y)² + E(X)²V(Y) + E(X)²E(Y)²

Step 5：{E(XY)}²を計算する

独立なので E(XY) = E(X)E(Y) より：

{E(XY)}² = {E(X)E(Y)}² = E(X)²E(Y)²

Step 6：分散の公式に代入

V(XY) = E[(XY)²] − {E(XY)}² に代入すると：

V(XY) = {V(X)V(Y) + V(X)E(Y)² + E(X)²V(Y) + E(X)²E(Y)²} − E(X)²E(Y)²

赤字の部分が打ち消し合って：

✅ 導出完了！

V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y)

💡 導出のポイント
① 分散の定義 V(XY) = E[(XY)²] − {E(XY)}² を使う
② 独立なら E[X²Y²] = E[X²]E[Y²] が使える
③ E[X²] = V(X) + {E(X)}² の変形がカギ
④ 展開すると E(X)²E(Y)² が打ち消し合う

📘 分散と標準偏差の基本
第5回：分散と標準偏差｜「バラつき」を数値化する魔法の公式 →

✏️ 例題で完全マスター｜QC検定1級レベル

実際の問題を解いて、公式の使い方を身につけましょう。

例題：製品の総出荷量を計算せよ

📋 問題

ある製品の「1個あたりの長さ X」と「1日の生産数 Y」は互いに独立で、以下の統計量を持つ。

変数	期待値 E	分散 V
長さ X	E(X) = 10.0 cm	V(X) = 0.01 cm²
生産数 Y	E(Y) = 0.5 万個/日	V(Y) = 0.12 (万個/日)²

問1：総出荷量 XY の期待値 E(XY) を求めよ。
問2：総出荷量 XY の分散 V(XY) を求めよ。
問3：総出荷量 XY の標準偏差 σ(XY) を求めよ。

解答：Step by Step

問1：E(XY)の計算

XとYは独立なので、期待値の積の公式が使えます。

E(XY) = E(X) × E(Y)

　　　= 10.0 × 0.5

　　　= 5.0 (cm・万個/日)

問2：V(XY)の計算

V(XY)の公式に代入します。

V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y)

各項を計算します。

項	計算	結果
第1項	V(X)×V(Y) = 0.01 × 0.12	0.0012
第2項	{E(Y)}²×V(X) = 0.5² × 0.01 = 0.25 × 0.01	0.0025
第3項	{E(X)}²×V(Y) = 10.0² × 0.12 = 100 × 0.12	12.0

V(XY) = 0.0012 + 0.0025 + 12.0

　　　≒ 12.0 または約12

💡 計算のポイント
第3項 {E(X)}²V(Y) が圧倒的に大きいですね。これは「Xの期待値が大きい」ことが原因です。期待値が大きい方の2乗は、分散への影響が大きくなります。

問3：σ(XY)の計算

σ(XY) = √V(XY)

　　　= √12.0

　　　≒ 3.46

📘 共分散の計算方法も学ぶ
共分散とは？｜「気温が上がるとビールが売れる」を数値化する方法 →

📚 まとめ｜確率変数の「積」の公式

最後に、この記事のポイントを整理しましょう。

✅ この記事のポイント

期待値の積：E(XY) = E(X) × E(Y)（独立なら成立）
分散の積：V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y)
V(XY)の3つの項は「両方バラつく」「Xだけ」「Yだけ」の影響
期待値が大きい方の2乗が、分散に大きく影響する
「和」の分散 V(X+Y) = V(X)+V(Y) とは全く異なる

📋 公式一覧（保存版）

公式名	公式	条件
期待値の積	E(XY) = E(X) × E(Y)	独立のみ
分散の積	V(XY) = V(X)V(Y) + {E(Y)}²V(X) + {E(X)}²V(Y)	独立のみ
E[X²]の変形	E[X²] = V(X) + {E(X)}²	常に成立