確率変数の和・差の期待値と分散｜「独立でない場合」の共分散・相関係数を完全マスター

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こんな悩みはありませんか？

E(X+Y) と V(X+Y) の公式がごちゃごちゃになる
「独立」と「独立でない」で公式が変わるのが混乱する
共分散と相関係数の関係がわからない
QC検定の「和・差の分散」の問題が解けない

○ この記事でわかること

期待値・分散の公式を図解で完全理解
「独立」と「独立でない」の違いを水槽のたとえで直感的に
共分散・相関係数の関係を1枚の図で整理
実際の計算例で手を動かしてマスター

この記事の全体像｜何を学ぶのか？

確率変数の「和や差」を扱う問題では、以下の3つの知識が必要です。

テーマ	ポイント	難易度
① 期待値の計算	単純に足し引きするだけ（独立関係なし）
② 分散の計算	独立なら足す、独立でないなら共分散を加える
③ 共分散と相関係数	「連動の度合い」を測る指標

この記事では、図解を中心にこれらの概念を順番に解説していきます。

① 期待値の計算｜独立かどうかは関係ない！

期待値（平均）の計算は、実はとてもシンプルです。

期待値の線形性｜足し算・引き算はそのまま

期待値の公式

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

E(X − Y) = E(X) − E(Y)

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

※ a, b は定数。独立かどうかに関係なく成り立つ！

コインの袋でイメージ
袋Xには平均100円、袋Yには平均50円のコインが入っているとします。
両方の袋を合わせたら？ → 平均は 100 + 50 = 150円

「袋同士が関係あるかどうか」は、平均の計算には影響しません。
これが期待値の線形性です。

関連記事
第8回：期待値 - 確率分布の中心を知る →

② 分散の計算｜「独立かどうか」で公式が変わる！

分散の計算は、期待値と違って「独立かどうか」が重要になります。

ケース①：XとYが独立の場合

2つの確率変数が独立（互いに影響しない）なら、分散は単純に足すだけです。

独立な場合の分散

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

V(X − Y) = V(X) + V(Y)

引き算でも分散は「足す」！（バラつきは打ち消し合わない）

水槽でイメージ（独立の場合）
2つの水槽が完全に別々に置かれていると想像してください。
それぞれの水槽の波（バラつき）は、互いに影響しません。

2つを合わせたときの「総合的な波の大きさ」は、単純に足し算になります。

ケース②：XとYが独立でない場合（ここが重要！）

2つの確率変数が独立でない（互いに影響する）場合、共分散という「連動の度合い」を加える必要があります。

独立でない場合の分散

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y)

V(X − Y) = V(X) + V(Y) − 2Cov(X, Y)

※ Cov(X, Y) は共分散。正なら波が同調、負なら波が逆位相。

水槽でイメージ（独立でない場合）
2つの水槽がパイプでつながっていると想像してください。
片方の波が起きると、もう片方にも影響します（連動する）。

この「連動分」が共分散です。
・同じ方向に波立つ（正の共分散）→ 合計のバラつきは大きくなる
・逆方向に波立つ（負の共分散）→ 合計のバラつきは小さくなる

なぜ「2倍」するのか？
V(X+Y) を展開すると、共分散の項が2回出てくるからです。

V(X+Y) = E[(X+Y-μx-μy)²]
= E[(X-μx)² + 2(X-μx)(Y-μy) + (Y-μy)²]
= V(X) + 2Cov(X,Y) + V(Y)

③ 共分散とは？｜「一緒に動く度合い」を測る

共分散は、2つの変数が一緒に動く傾向を数値化したものです。

共分散の定義と直感的な意味

共分散の定義

Cov(X, Y) = E[(X − μ_X)(Y − μ_Y)]

= E(XY) − E(X)E(Y)

共分散の値	意味	イメージ
Cov > 0	正の関係	Xが増えるとYも増える傾向
Cov < 0	負の関係	Xが増えるとYは減る傾向
Cov = 0	無相関	XとYは連動しない（独立の可能性）

重要な注意点
独立ならば Cov(X,Y) = 0 です。
しかし逆は成り立ちません！ Cov(X,Y) = 0 でも独立とは限らないのです。
（非線形な関係がある場合など）

④ 相関係数とは？｜共分散を「比較可能」にする

共分散には1つ大きな問題があります。それは「単位がある」こと。値の大きさだけで「強い関係」とは言えません。

そこで、共分散を標準偏差で割って正規化したものが相関係数です。

相関係数の定義

相関係数（母相関係数）

ρ =

Cov(X, Y)

σ_X × σ_Y

範囲：−1 ≤ ρ ≤ 1

共分散と相関係数の関係（公式変形）

相関係数の式を変形すると、共分散は以下のように表せます。

共分散を相関係数で表す（重要！）

Cov(X, Y) = ρ × σ_X × σ_Y

問題では「相関係数ρ」が与えられることが多いので、この変換が超重要！

これがQC検定の頻出パターン！
問題文で「相関係数ρ = 0.6」のように与えられたら、
Cov(X,Y) = ρ × σX × σY で共分散を求めて、
それを V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y) に代入します。

公式の全体まとめ｜これだけ覚えればOK！

期待値の公式（独立・非独立共通）

E(X + Y)	= E(X) + E(Y)
E(X − Y)	= E(X) − E(Y)
E(aX + bY)	= aE(X) + bE(Y)
E(aX)	= aE(X)

分散の公式（独立の場合）

V(X + Y)	= V(X) + V(Y)
V(X − Y)	= V(X) + V(Y)
V(aX)	= a²V(X)
V(aX + bY)	= a²V(X) + b²V(Y)

分散の公式（独立でない場合）

V(X + Y)	= V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)
V(X − Y)	= V(X) + V(Y) − 2Cov(X,Y)
V(aX + bY)	= a²V(X) + b²V(Y) + 2abCov(X,Y)

※ Cov(X,Y) = ρ × σ_X × σ_Y で計算

共分散・相関係数の公式

Cov(X, Y)	= E(XY) − E(X)E(Y)
Cov(X, Y)	= ρ × σ_X × σ_Y
ρ（相関係数）	= Cov(X,Y) ÷ (σ_X × σ_Y)
Cov(aX, bY)	= ab × Cov(X, Y)

【実践】計算例で手を動かそう

例題：2つの商品の合計利益

ある会社が商品Aと商品Bを販売しています。それぞれの利益は以下の確率分布に従います。

商品	期待値 E	分散 V	標準偏差 σ
商品A (X)	100万円	400	20
商品B (Y)	80万円	225	15

2つの商品の利益には相関係数 ρ = 0.6 の関係があります（景気が良いと両方売れるなど）。

問：合計利益 X + Y の期待値と分散を求めよ。

Step 1：期待値を求める

E(X + Y) = E(X) + E(Y)
= 100 + 80
= 180万円

期待値は単純に足すだけなので、相関係数は使いません。

Step 2：共分散を求める

Cov(X, Y) = ρ × σ_X × σ_Y
= 0.6 × 20 × 15
= 180

Step 3：分散を求める

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y)
= 400 + 225 + 2 × 180
= 400 + 225 + 360
= 985

○ 答え
E(X + Y) = 180万円
V(X + Y) = 985（標準偏差 ≒ 31.4万円）

もし独立だったら？
V(X + Y) = 400 + 225 = 625

正の相関があると、分散は 625 → 985 と大きくなります。
「景気が良いと両方売れる」ので、リスク（バラつき）も連動して大きくなるのです。

よくある間違いパターン

× 間違い	正しい
V(X−Y) = V(X) − V(Y)	V(X−Y) = V(X) + V(Y) 分散は引き算でも足す！
V(2X) = 2V(X)	V(2X) = 4V(X) 定数は2乗される！
独立でないのに共分散を忘れる	+2Cov(X,Y) を忘れずに！問題文の「相関係数」に注目
σ（標準偏差）をそのまま足す	分散に変換してから足す！ σ² = V の関係を使う