※本記事にはプロモーション（広告）が含まれています。
回帰分析の記事は、初心者が読む順に次の記事にまとめています。
最短で使いこなす全記事ガイド
- 偏回帰係数の符号がプラスのはずなのに、マイナスになっている…
- 標準誤差が異常に大きくて、有意にならない…
- 変数を1つ追加しただけで、他の係数が大きく変わってしまう…
- 多重共線性とは何か、なぜ問題なのか
- VIF（分散拡大係数）の意味と計算方法
- 多重共線性を検出したときの対処法
「重回帰分析をやってみたけど、結果がおかしい…」
そんな経験はありませんか？
たとえば、「広告費が増えると売上が増える」はずなのに、偏回帰係数がマイナスになっている。あるいは、明らかに重要な変数なのに、t検定で「有意でない」と判定されてしまう。
その原因、もしかすると「多重共線性」かもしれません。
多重共線性とは、説明変数同士が強く相関している状態のこと。これが起きると、重回帰分析の結果が不安定になり、正しい解釈ができなくなってしまいます。
この記事では、多重共線性の仕組みから検出方法（VIF）、対処法まで、図解でわかりやすく解説します。
多重共線性（共線性）とは、重回帰分析の説明変数どうしが強く相関していて、係数が不安定になる状態です。各説明変数の VIF（分散拡大係数）＝1÷(1−R²) で確かめ、10以上（厳しめに見るなら5以上）なら変数を外す・まとめるなどの対処をします。説明変数が2つなら、相関係数 r＝0.9 で VIF≒5.3、r＝0.95 で VIF≒10 です。
多重共線性とは？
説明変数同士が「似すぎている」状態
多重共線性（Multicollinearity）とは、説明変数同士が強く相関している状態のことです。
たとえば、売上を予測するモデルで「広告費」と「マーケティング費」を両方入れたとします。
でも、よく考えてみてください。広告費とマーケティング費って、ほとんど同じものですよね。広告費が多い月はマーケティング費も多いし、少ない月は両方少ない。
このように、2つの変数が「似すぎている」と、重回帰分析はうまく機能しなくなります。
説明変数の間に強い線形関係（相関）があること。
極端な場合、ある変数が他の変数の線形結合で完全に表せる状態。
「双子」で考えるとわかりやすい
多重共線性のイメージを、双子の例で考えてみましょう。
あなたは「チームの売上」を予測したいと思っています。チームには太郎さんと次郎さんがいます。
ところが、太郎さんと次郎さんは一卵性双生児で、行動パターンがまったく同じ。太郎さんが頑張る日は次郎さんも頑張るし、太郎さんがサボる日は次郎さんもサボる。
この状態で、「売上への貢献は太郎さんのおかげ？次郎さんのおかげ？」と聞かれたら、答えられますか？
…答えられませんよね。2人の行動が似すぎていて、どちらの効果か区別できないからです。
多重共線性がない状態：チームメンバーがそれぞれ個性的 → 誰の貢献か区別できる
多重共線性がある状態：チームメンバーが双子ばかり → 誰の貢献か区別できない
説明変数が「似すぎている」と、それぞれの効果を分離できなくなるのです。
品質管理の全体を、1冊で見渡したいときに向いています。品質管理と品質改善の基本を、図解でわかりやすくまとめた本です（日本実業出版社）。
説明変数どうしが一緒に動く「相関」は、原因と結果の「因果」とは別ものです。この違いは次の記事でたとえを使って解説しています。
「擬似相関」の罠を例で解説
多重共線性があると何が起こる？
問題①：偏回帰係数が不安定になる
多重共線性があると、偏回帰係数がサンプルごとに大きく変動します。
たとえば、あるサンプルで計算すると b₁ = 5.0 だったのに、別のサンプルでは b₁ = −2.0 になる、ということが起こります。
これは、x₁とx₂が似すぎているため、「x₁の効果」と「x₂の効果」の配分がサンプルによってコロコロ変わってしまうからです。
本当の効果：「広告費 +5、マーケティング費 +3」（合計 +8）
多重共線性があると…
・サンプルA：「広告費 +10、マーケティング費 −2」（合計 +8）
・サンプルB：「広告費 −1、マーケティング費 +9」（合計 +8）
合計は同じでも、配分がバラバラになってしまう。
問題②：標準誤差が大きくなる
偏回帰係数が不安定ということは、標準誤差が大きくなるということです。
標準誤差が大きくなると、t値（= 係数 ÷ 標準誤差）が小さくなります。
その結果、本当は効いている変数なのに「有意でない」と判定されてしまうことがあります。
| 状態 | 標準誤差 | t値 | 判定 |
|---|---|---|---|
| 多重共線性なし | 小さい | 大きい | 有意になりやすい |
| 多重共線性あり | 大きい | 小さい | 有意にならない |
問題③：符号が逆転することがある
最も厄介なのが、偏回帰係数の符号が理論と逆になることです。
「広告費を増やすと売上が増える」のが常識なのに、偏回帰係数がマイナスになっている…。これは多重共線性の典型的な症状です。
なぜこんなことが起こるのでしょうか？
偏回帰係数は「他の変数を固定したときの効果」を表します。でも、x₁とx₂が強く相関していると、「x₁だけ変えてx₂を固定する」という状況が現実にはほとんど存在しないのです。
存在しない状況を無理やり推定するので、結果が不自然になってしまいます。
- 偏回帰係数がサンプルごとに大きく変動する
- 標準誤差が大きく、有意にならない
- 偏回帰係数の符号が理論と逆になる
これらの症状が見られたら、多重共線性を疑いましょう。
QC検定1級を目指すなら、出題範囲に沿ったテキストで全体を押さえておくと安心です。QC検定1級の受検テキストです（日科技連出版社）。
VIF（分散拡大係数）で多重共線性を検出する
VIFとは？｜「分散がどれだけ膨らんだか」を測る指標
多重共線性を検出する最もポピュラーな指標がVIF（Variance Inflation Factor：分散拡大係数）です。
VIFは、「他の説明変数との相関によって、偏回帰係数の分散がどれだけ膨らんだか」を表す指標です。
VIF = 1 → 他の変数と全く相関なし（理想的）
VIF = 5 → 分散が5倍に膨らんでいる
VIF = 10 → 分散が10倍に膨らんでいる（危険）
VIFが大きいほど、その変数は他の変数と強く相関しており、偏回帰係数の推定が不安定になっています。
VIFの計算式
VIFは、各説明変数について計算します。
Rⱼ²：xⱼを他のすべての説明変数で回帰したときの決定係数
ちょっとわかりにくいので、具体的に説明しますね。
たとえば、x₁のVIFを計算したいとします。このとき、次のような回帰分析を行います。
- x₁を目的変数、x₂とx₃を説明変数として回帰分析
- その回帰分析の決定係数R₁²を求める
- VIF₁ = 1 ÷ (1 − R₁²) を計算
つまり、「x₁が他の説明変数（x₂, x₃）でどれだけ説明できるか」を調べているのです。
もしx₁がx₂やx₃で完全に説明できる（R₁² = 1）なら、VIF = 1 ÷ 0 = ∞ となり、多重共線性は完全に発生しています。
| 2つの説明変数の相関係数 r | VIF＝1÷(1−r²) | 目安 |
|---|---|---|
| 0.5 | 1.33 | 問題なし |
| 0.7 | 1.96 | 問題なし |
| 0.8 | 2.78 | 問題なし |
| 0.9 | 5.26 | 要注意 |
| 0.95 | 10.3 | 対処が必要 |
| 0.99 | 50.3 | 対処が必要 |
相関係数だけを見て「0.8までなら大丈夫」と決める方法もありますが、説明変数が3つ以上になると、2つずつの相関が低くても組み合わせで多重共線性が起きることがあります。確認は VIF で行うのが確実です。
① 説明変数が2つなら、＝1/(1−CORREL(x₁の範囲, x₂の範囲)^2) で求まります。
② 3つ以上なら、調べたい変数を目的変数、残りの説明変数を説明変数にして「データ分析」の回帰分析（または LINEST 関数）を行い、出てきた決定係数 R² を 1/(1−R²) に入れます。これを説明変数の数だけくり返します。
③ まとめて出すなら、説明変数の相関行列の逆行列（MINVERSE 関数）を求めると、その対角の値がそれぞれの VIF になります。
VIFの判定基準
VIFの判定基準は、一般的に以下のように言われています。
| VIFの値 | 判定 | 対応 |
|---|---|---|
| VIF < 5 | 問題なし | そのまま分析を続けてOK |
| 5 ≦ VIF < 10 | 要注意 | 多重共線性の可能性あり。結果の解釈に注意 |
| VIF ≧ 10 | 深刻な問題 | 多重共線性あり。対処が必要 |
VIF < 5 → 安全
VIF ≧ 10 → 危険
まずはこの2つの基準だけ覚えておけばOKです。
ソフトによっては VIF の代わりに許容度（トレランス）＝1−R²＝1÷VIF を表示します。許容度 0.1 が VIF 10、許容度 0.2 が VIF 5 にあたります。5と10はどちらも経験からの目安で、分野や本によって基準が違います。
回帰診断とは？残差プロットとVIFで回帰式の健康チェック
【計算例】VIFを実際に求めてみよう
問題設定：3つの説明変数があるモデル
売上（y）を「広告費（x₁）」「マーケティング費（x₂）」「店舗面積（x₃）」で予測するモデルを考えます。
各説明変数を目的変数として、他の変数で回帰分析した結果、以下の決定係数が得られました。
VIFの計算
広告費（x₁）のVIF
マーケティング費（x₂）のVIF
店舗面積（x₃）のVIF
結果のまとめと判定
| 変数 | Rⱼ² | VIF | 判定 |
|---|---|---|---|
| 広告費 x₁ | 0.90 | 10.0 | 危険 |
| マーケティング費 x₂ | 0.88 | 8.33 | 要注意 |
| 店舗面積 x₃ | 0.20 | 1.25 | 問題なし |
広告費とマーケティング費の間に強い多重共線性が発生しています。
これは当然ですよね。広告費とマーケティング費は、概念的にほとんど同じものだからです。
このままでは、「広告費の効果」と「マーケティング費の効果」を正しく分離できません。対処が必要です。
VIF の大きい変数をどう外すかは、変数選択の方法(ステップワイズ法など)で決めます。
ステップワイズ法・AIC・増加法・減少法
多重共線性への対処法
対処法①：変数を削除する（最もシンプル）
最もシンプルな対処法は、相関の高い変数のどちらかを削除することです。
先ほどの例なら、「広告費」と「マーケティング費」のどちらかを削除します。どちらを残すかは、以下の観点で判断します。
- 理論的に重要な方を残す
- 測定精度が高い方を残す
- データの欠損が少ない方を残す
迷ったら、VIFが高い方を削除するのが無難です。
VIFが高い = 他の変数で説明できる = なくても情報が失われにくい、ということだからです。
対処法②：変数を統合する
相関の高い変数を1つの変数に統合する方法もあります。
先ほどの例なら、「広告費」と「マーケティング費」を足して「プロモーション費」という1つの変数にします。
変更前：y = b₀ + b₁(広告費) + b₂(マーケティング費) + b₃(店舗面積)
変更後：y = b₀ + b₁(プロモーション費) + b₂(店舗面積)
※プロモーション費 = 広告費 + マーケティング費
この方法なら、情報を捨てずに多重共線性を解消できます。ただし、「広告費」と「マーケティング費」の個別の効果はわからなくなります。
対処法③：主成分分析を使う
より高度な方法として、主成分分析（PCA）を使う方法があります。
主成分分析は、相関のある変数から「相関のない新しい変数（主成分）」を作り出す手法です。この主成分を説明変数として使えば、多重共線性は発生しません。
ただし、主成分は元の変数の「合成」なので、解釈が難しくなるというデメリットがあります。
対処法④：サンプルサイズを増やす
サンプルサイズを増やすと、標準誤差が小さくなり、多重共線性の影響を軽減できます。
ただし、これは「根本的な解決」ではなく「影響を和らげる」だけです。VIFが非常に高い場合（10以上）は、サンプルを増やしても問題が残ることがあります。
対処法のまとめ
| 対処法 | メリット | デメリット |
|---|---|---|
| ①変数を削除 | シンプル、確実 | 情報が失われる |
| ②変数を統合 | 情報を保持できる | 個別の効果がわからない |
| ③主成分分析 | 多くの変数に対応可 | 解釈が難しくなる |
| ④サンプル増加 | 変数を変えなくてよい | 根本的解決ではない |
まずは①変数を削除を検討しましょう。
シンプルで効果が確実、解釈も容易です。
削除したくない理由がある場合のみ、②〜④を検討します。
多重共線性チェックの流れ
- 重回帰分析を実行する
- 各変数のVIFを計算する
- VIF ≧ 10 の変数があるか確認
- あれば対処法を実施
- 再度VIFを確認（すべて VIF < 5 になるまで繰り返す）
まとめ
この記事では、多重共線性とVIFについて解説しました。
- 多重共線性：説明変数同士が強く相関している状態
- 多重共線性があると、係数が不安定・符号逆転・有意にならない
- VIFで検出。VIF ≧ 10 なら多重共線性あり
- 対処法は変数削除が最もシンプルで確実
多重共線性は、重回帰分析の「落とし穴」です。分析前にVIFをチェックする習慣をつけましょう。
次は、「どの変数をモデルに入れるべきか」を決める変数選択の方法について学びましょう。
よくある質問
回帰分析の考え方を、楽しく復習したいときに向いています。回帰分析の考え方を、マンガで解説した本です（オーム社）。
多重共線性を確かめたら、モデルの当てはまりを決定係数 R² で確かめます。
メーカーで電気設計と品質保証に携わってきた経験をもとに執筆しています。むずかしい専門用語をできるだけ使わず、はじめて学ぶ人がつまずかないように、図とたとえで説明することを大切にしています。
次に読むべき記事
この記事の内容がわかったら、重回帰分析の次のテーマに進みましょう。続けて読むと、現場でそのまま使える知識になります。
テーマ別に、もっと深く学ぶ
気になるところから読んでも大丈夫です。どの記事も、はじめて学ぶ人向けにやさしく書いています。
