【QC検定】管理図の計算問題パターン総整理｜UCL・LCLの求め方一覧

• 管理図の公式が多すぎて覚えられない…
• UCL・LCLの計算問題で、どの公式を使えばいいか分からない
• A₂やD₄などの係数表の使い方がイマイチ理解できない
• QC検定の過去問で管理図の計算問題が出ると手が止まる

• 全8種類の管理図のUCL・CL・LCL公式を一覧表で総整理
• 計量値・計数値それぞれの公式の「覚え方」と「使い分け」
• 係数表（A₂・D₃・D₄）の意味と使い方
• QC検定頻出の計算パターンを例題で完全マスター

管理図の基本（UCL・CL・LCLの意味）がまだ不安な方は、先にこちらをどうぞ：

• 計量値：係数（A₂、D₃、D₄）を使う → 係数表が必要
• 計数値：3σの公式（±3√〜）を使う → ルート計算が必要
• LCLが負になったら「0」とする（不良率や欠点数はマイナスにならない）

ある工程で、サンプルサイズn=5で25群のデータを取った結果、以下の値が得られた。X̄管理図のUCL、CL、LCLを求めよ。

• 総平均 X̿ = 50.0
• 範囲の平均 R̄ = 4.0
• 係数 A₂ = 0.577（n=5のとき）

Step 1：CLを求める

CL = X̿ = 50.0

Step 2：UCLを求める

UCL = X̿ + A₂R̄

　　= 50.0 + 0.577 × 4.0

　　= 50.0 + 2.308 = 52.308

Step 3：LCLを求める

LCL = X̿ − A₂R̄

　　= 50.0 − 0.577 × 4.0

　　= 50.0 − 2.308 = 47.692

X̄管理図では、A₂R̄の部分を先に計算しておくと、UCLとLCLの計算がラクになります。「X̿ ± A₂R̄」と覚えましょう。

n≦6のときはD₃が「−」（存在しない）ため、LCLは計算しません（LCLなし、または0とする）。これはR管理図特有の性質で、試験でもよく問われます。

先ほどと同じデータ（n=5、R̄=4.0）を使って、R管理図のUCL、CL、LCLを求めよ。

n=5なので、係数表より D₃=−（なし）、D₄=2.115

UCL = D₄R̄ = 2.115 × 4.0 = 8.46

CL = R̄ = 4.0

LCL = D₃R̄ = なし（または0）

移動範囲とは、隣り合う2つのデータの差の絶対値のこと。

例：データが 10, 12, 9, 11 の場合
　Rs₁ = |12−10| = 2
　Rs₂ = |9−12| = 3
　Rs₃ = |11−9| = 2
　Rs̄ = (2+3+2)/3 = 2.33

※ LCLが負になる場合は LCL = 0 とする

毎日100個ずつ検査を行い、20日間のデータを集計したところ、不適合品の合計は60個だった。p管理図のUCL、CL、LCLを求めよ。

Step 1：p̄（平均不適合品率）を求める

p̄ = 60 / (100 × 20) = 60 / 2000 = 0.03（3%）

Step 2：√{p̄(1−p̄)/n}を計算する

= √{0.03 × 0.97 / 100}

= √{0.0291 / 100}

= √0.000291

= 0.01706

Step 3：UCL・CL・LCLを求める

UCL = 0.03 + 3 × 0.01706 = 0.03 + 0.0512 = 0.0812（8.12%）

CL = 0.03（3%）

LCL = 0.03 − 0.0512 = −0.0212 → 0（負なので0）

不良率や欠点数はマイナスにならないため、計算結果が負になった場合はLCL = 0とします。これは計数値管理図（p、np、c、u）すべてに共通するルールです。

• p管理図：サンプルサイズnが変動する場合（例：日によって検査数が違う）
• np管理図：サンプルサイズnが一定の場合（例：毎日100個検査）

※ LCLが負になる場合は LCL = 0 とする

先ほどと同じデータ（n=100、p̄=0.03）を使って、np管理図のUCL、CL、LCLを求めよ。

Step 1：np̄（平均不適合品数）を求める

np̄ = 100 × 0.03 = 3（個）

Step 2：√{np̄(1−p̄)}を計算する

= √{3 × 0.97}

= √2.91

= 1.706

Step 3：UCL・CL・LCLを求める

UCL = 3 + 3 × 1.706 = 3 + 5.12 = 8.12（個）

CL = 3（個）

LCL = 3 − 5.12 = −2.12 → 0（個）

公式をよく見ると、np管理図の値はp管理図の値をn倍したものになっています。

• p管理図のCL = 0.03 → np管理図のCL = 0.03 × 100 = 3
• p管理図のUCL = 0.0812 → np管理図のUCL = 0.0812 × 100 ≈ 8.12

• 不適合品：欠点が1つでもある製品のこと（良品 or 不良品）
• 不適合（欠点）：製品1つあたりの欠点の数（傷の数、気泡の数など）

例：1枚の布に傷が3箇所ある → 不適合品は1枚、不適合数は3

※ LCLが負になる場合は LCL = 0 とする

c管理図はポアソン分布に基づいています。ポアソン分布では「平均＝分散」という性質があるため、分散の平方根（標準偏差）は√c̄となり、公式がシンプルになります。

一定面積の布を20枚検査したところ、欠点数の合計は80個だった。c管理図のUCL、CL、LCLを求めよ。

Step 1：c̄（平均欠点数）を求める

c̄ = 80 / 20 = 4（個/枚）

Step 2：√c̄を計算する

√c̄ = √4 = 2

Step 3：UCL・CL・LCLを求める

UCL = 4 + 3 × 2 = 10（個）

CL = 4（個）

LCL = 4 − 3 × 2 = −2 → 0（個）

• c管理図：検査単位（面積・長さなど）が一定の場合
• u管理図：検査単位が変動する場合

例：布の検査で「今日は10m²、明日は15m²」のように面積が異なる → u管理図

※ LCLが負になる場合は LCL = 0 とする
※ nはサンプルごとに異なるため、管理限界線は階段状になることがある

布の検査で、単位欠点数の平均がū=2.0（個/m²）だった。検査面積n=4m²のサンプルに対するUCL、CL、LCLを求めよ。

Step 1：√(ū/n)を計算する

= √(2.0 / 4)

= √0.5

= 0.707

Step 2：UCL・CL・LCLを求める

UCL = 2.0 + 3 × 0.707 = 2.0 + 2.12 = 4.12（個/m²）

CL = 2.0（個/m²）

LCL = 2.0 − 2.12 = −0.12 → 0（個/m²）

u管理図では、サンプルごとに検査単位数nが異なる場合、管理限界線もサンプルごとに変わります（階段状の管理限界線になる）。計算問題では「n=○のとき」と指定されることが多いです。

QC検定ではサンプルサイズn=5の問題が頻出です。以下の値だけは覚えておくと便利です：

• A₂ = 0.577（約0.58）
• D₄ = 2.115（約2.1）
• D₃ = −（存在しない → LCLなし）

• p = proportion（割合）→ 不適合品率
• np = n × p（サンプル数 × 割合）→ 不適合品数
• c = count（数える）→ 不適合数（一定面積）
• u = unit（単位あたり）→ 単位あたりの不適合数