カルノー図とは何ですか？

真理値表の1を、隣のマスとは入力が1か所だけ違うように並べた表です。隣の1を囲んで論理式を簡単にします。

カルノー図の並べ方は？

00、01、11、10の順に並べます。01の次を11にすることで、隣り合うマスの違いが1ビットだけになります。

1個・2個・4個・8個の長方形で、できるだけ大きく囲みます。3個や6個では囲めません。

はい。左端と右端、上端と下端は隣り合っていると考えるので、端と端の1をまとめて囲めます。

3〜4変数の式を最も簡単にするならカルノー図が速く、NANDやNORへの書き直しはブール代数を使います。

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カルノー図は、真理値表の1を、隣どうしが1か所だけ違うように並べた表で、隣り合う1を1・2・4・8個の長方形で大きく囲むと論理式が簡単になります。囲み方は4つのルール、解き方の流れは過去問の節へ。

論理回路の出力を式で書くと、出力が1になる入力の組み合わせを全部「または（＋）」でつないだ長い式になります。たとえば、Aが1でBが1でCが0のときは A·B·C（Cの上の線は「Cが0」の意味）のように書きます。

長い式の中に、A·B·C と A·B·C のように「Cだけが違う2つの項」があれば、Cは0でも1でもよいので、2つをまとめて A·B と書けます。カルノー図は、このまとめられる項同士を、表の上で隣に並べる工夫です。

A ＼ BC	00	01	11	10
0	A=0,B=0,C=0	A=0,B=0,C=1	A=0,B=1,C=1	A=0,B=1,C=0
1	A=1,B=0,C=0	A=1,B=0,C=1	A=1,B=1,C=1	A=1,B=1,C=0

囲みが決まったら、それぞれの囲みの中で値が変わらない入力だけを書き出し、囲み同士を「＋」でつなぎます。2個の囲みでは入力が1つ消え、4個の囲みでは2つ消えます。

A ＼ BC	00	01	11	10
0	0	0	1	1
1	0	1	1	1

カルノー図は、機械の「情報伝送及び処理」で、真理値表から論理式を選ぶ問題として出題されています。

年度・問題	出力が1になる入力（A B C）	答え
令和2年度問14	001・011・101・110・111	X＝A·B＋C
令和5年度下期問14	000・001・010・100	X＝A·B＋B·C＋C·A
平成23年度問18	4変数のカルノー図	X＝A·B＋B·D＋A·C·D＋A·B·C·D を、NAND・NORで書き直す

A ＼ BC	00	01	11	10
0	1	1	0	1
1	1	0	0	0

平成23年度問18 のように、簡単にした式を NAND だけ・NOR だけで書き直す問題では、ド・モルガンの法則で「全体を2回否定する」変形を使います。

同じ問題は、ブール代数の法則（べき等則・分配則・補元則など）で式を変形しても解けます。令和2年度問14 を式で解くと、同じ項を足してからまとめる、という変形が5回ほど要ります。