こんにちは、シラスです。
前回の記事で、実務で最も使う「t検定」を行いました。
そのとき、判定基準（限界値）を見て「おや？」と思った方もいるかもしれません。
- Z検定（正規分布）： 1.96 を超えたら異常。
- t検定（自由度8）： 2.306 を超えないと異常と言えない。
「なぜデータが少ないと、ハードル（基準値）が上がってしまうの？」
「1.96じゃダメなの？」
実はこれ、データ不足に対する「ペナルティ」なんです。
今日は、t検定の背後にある「t分布」という山の形と、そこから導かれる「少数のデータには厳しくあれ」という統計学の哲学を解説します。
1. t分布の形：「裾野（すその）」が広い
まずは、この記事の一番上の画像から正規分布（Z）とt分布（t）の形を見比べてみましょう。
- 正規分布（青線）： シュッと引き締まった形。
- t分布（赤線）： 山が低く、左右の裾野（すその）がダラッと広がっている形。
この「裾野が広い（Fat Tail）」というのが最大の特徴です。
なぜ広がるのか？
正規分布は「真の分散（$\sigma$）」を知っている、完璧な状態の分布です。
一方、t分布は「手元のデータから計算した分散（$s$）」を使っています。
この $s$ は、たまたま変なデータが混じると大きくブレてしまいます。
つまり、t分布には「データの不確実さ（迷い）」が含まれているため、正規分布のように「ここだ！」と一点に集中できず、「もしかしたら、もっと極端な値が出るかも…」と左右に広がってしまうのです。
2. 裾野が広いと、基準値はどうなる？
分布が横に広がると、判定基準（5%のライン）はどうなるでしょうか？
面積（確率）は全体の100%で決まっています。
山が潰れて横に広がると、「端っこ5%のエリア」は、より外側（遠く）へ押し出されます。
有意水準5%のライン（棄却限界値）：
t分布 $\approx 2.306$
1.96ならゴールだったのに、t分布では「まだだ！もっと遠く（2.306）まで行かないと認めないぞ！」と言われている状態です。
これが「データが少ないと判定が厳しくなる」理由です。
情報の信頼性が低い分、「よほど大きな差がない限り、異常とは認めないよ（偶然かもしれないからね）」という、慎重な姿勢の表れなのです。
3. 自由度（$n-1$）による進化
しかし、t分布はずっと低いままではありません。
データ数（$n$）が増えれば増えるほど、計算した分散（$s$）の信頼度が上がり、真の値（$\sigma$）に近づいていきます。
これを「自由度（$n-1$）が増える」と言います。
- データ数 2個： 裾野がめちゃくちゃ広い。（基準値 12.7）
→ ほぼ何も判定できない。 - データ数 10個： 少し引き締まる。（基準値 2.26）
- データ数 100個： かなり正規分布に近い。（基準値 1.98）
- データ数 $\infty$個： 正規分布と完全に一致する。（基準値 1.96）
データさえ集めれば、人間（t分布）もいつかは神様（正規分布）と同じ判断ができるようになる。
これが統計学の面白いところです。
4. 豆知識：ギネスビールが生んだ理論
実はこのt分布、ギネスビール工場の技術者だったウィリアム・ゴセットという人が発見しました。
「ビールの品質検査をするのに、何百個もサンプルを取るわけにはいかない（商品がなくなるから）。
少ないサンプル数（$n$）でも、正確に品質を保証する方法はないか？」
そう考えて研究した結果、「データが少ない時は、正規分布よりも少し裾野を広げた分布を使えば計算が合う！」と発見したのです。
（会社の方針で本名が出せなかったので、「Student（学生）」というペンネームで論文を出しました。だから今でも「スチューデントのt検定」と呼ばれます）
まとめ
「データが少ないときは慎重に。データが多いときは大胆に。」
t分布は、このリスク管理を自動的にやってくれる、非常に優秀なツールなのです。
さて、t分布の仕組みが分かったところで、次はいよいよ「2つのグループの比較」に入ります。
「A工場とB工場の製品、品質に差はあるか？」
次回は、実務で最も出番の多い「2標本のt検定（等分散）」を解説します。