ウェルチのt検定とは？やり方と使い分け｜等分散でない2群の例題と計算ツール

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2社のボルトの引張強さを比べたい。A社は8本で平均 25.30kN、ばらつきが大きい（s＝0.90）。B社は12本で平均 24.40kN、そろっている（s＝0.30）。ばらつきが3倍違う2つの平均を、どう比べるか。

ウェルチの t検定とは？なぜ必要か

ふつうの2標本の t検定（スチューデントの t検定）は、2つのグループの母分散が等しいことを前提に、2つの分散を1つにまとめて（プールして）使います。ばらつきが大きく違うと、この前提が崩れ、判定の誤りの確率が5%からずれます。

とくに、データ数の少ないほうのばらつきが大きいときは、プールした分散が実際より小さくなり、差がないのに「差がある」と出やすくなります。ウェルチの t検定は、分散をまとめずに別々に使うことで、このずれを防ぎます。

スチューデントの t検定とウェルチの t検定の違い

	スチューデントの t検定	ウェルチの t検定
前提	2つの母分散が等しい	等しくなくてよい
分母	√(Sp²×(1/n1＋1/n2))　Sp²＝プールした分散	√(s1²/n1＋s2²/n2)
自由度	n1＋n2−2（整数）	ウェルチの式（小数）
例題の t	3.24	2.73

資料によって使い分けの考え方が分かれます。「F検定で等分散を確かめ、等分散ならスチューデント、そうでなければウェルチ」という2段の手順は、教科書や QC検定の問題でよく使われます。一方で、検定を2回重ねると誤りの確率が読みにくくなるので、最初からウェルチを使えばよいという説明もあります。この記事は、試験では2段の手順に従い、実務の報告ではウェルチを基本にする考え方を採ります。

等分散を仮定する型のやり方と計算ツールはt検定（2標本・等分散）の記事にあります。

ウェルチの t検定の公式と自由度

ウェルチの t検定のやり方5ステップ｜2社のボルトの強度

同じデータで等分散を仮定すると t＝3.24（自由度18）になり、差をより強く主張してしまいます。ばらつきの比は 0.90²÷0.30²＝9 倍で、等分散の前提は明らかに崩れています。

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この例題の t と自由度と p値は、手計算とは別に統計ソフトのウェルチの t検定の関数でも出し、小数第2位まで一致を確かめました。

ウェルチの t検定の計算ツール

2つのグループの平均・標準偏差 s・データ数 n を入れると、ウェルチの t・自由度・境界値・p値・判定と、参考に等分散を仮定した t を出します。初めは例題の数字です。

入力すると、その場で計算し直します。入力した数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。

ウェルチの t検定を現場で使うときの判断とExcel

2つのグループのデータ数が違い、ばらつきも違いそうなら、ウェルチの t検定を使います。Excel の T.TEST の型を3にすると、ウェルチの t検定の p値が出ます。

筆者なら、2つのグループのデータ数が違うときは、等分散の検定の結果を待たずにウェルチで計算し、等分散の t と並べて差を見ます。理由は、データ数が違うときほど、分散の違いがスチューデントの t の誤りを大きくし、2つの結果が離れていればそれ自体が「等分散の前提が怪しい」という合図になるからです。

Excel でやりたいこと	関数
ウェルチの t検定の p値（両側）	=T.TEST(範囲1, 範囲2, 2, 3)
等分散を仮定した t検定の p値	=T.TEST(範囲1, 範囲2, 2, 2)
対応のある t検定の p値	=T.TEST(範囲1, 範囲2, 2, 1)

1つの平均を基準値と比べるときは1標本の t検定、検定全体の考え方は仮説検定の記事にあります。