単回帰の分散分析表｜回帰・残差・全体の平方和を完全理解

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「回帰分析で分散分析表が出てきたけど、何を計算しているの？」
「SR、Se、STって何の略？どうやって求めるの？」
「F検定で"有意"って判定されたけど、何が言えるの？」

こんな疑問、抱えていませんか？
回帰直線を引いただけでは、「その直線が本当に意味があるのか」がわかりません。分散分析表を使えば、回帰式の有意性を客観的に判定できます。

結論ファースト

回帰分析の分散分析表は、yのバラつき（ST）を「回帰で説明できる部分（SR）」と「説明できない残差（Se）」に分解します。F検定で「SR/Se」の比が大きければ、回帰式は有意（xはyに影響する）と判定できます。

この記事でわかること

3つの平方和（ST, SR, Se）の意味と計算方法
分散分析表の構造と作り方
F検定で回帰式の有意性を判定する方法
計算例で手を動かして完全理解

前提知識：単回帰分析の基礎を理解している方向けです。まだの方は以下もどうぞ。
→ 回帰分析とは？「未来を予測する」仕組み
→ 最小二乗法とは？回帰直線を引く仕組み

3つの平方和を理解する

回帰分析の分散分析では、yのバラつき（変動）を3つに分解します。これが分散分析表の基本です。

バラつき分解の基本式

S_T = S_R + S_e

全体のバラつき＝回帰で説明できる部分＋説明できない残差

各平方和の定義

S_T：全体平方和

Total Sum of Squares

S_T = Σ(y_i − ȳ)²

意味：各データが平均ȳからどれだけ離れているか（yの全バラつき）

S_R：回帰平方和

Regression Sum of Squares

S_R = Σ(ŷ_i − ȳ)²

意味：回帰直線上の予測値が平均からどれだけ離れているか（回帰で説明できる部分）

S_e：残差平方和

Error Sum of Squares

S_e = Σ(y_i − ŷ_i)²

意味：実測値と予測値のズレ（回帰で説明できない残差）

イメージで理解：テストの点数

生徒の数学の点数（y）を、勉強時間（x）で予測する場面を想像してください。

S_T：生徒ごとの点数のバラつき（全体の散らばり）
S_R：「勉強時間」で説明できる点数の差
S_e：勉強時間では説明できない個人差（才能、体調など）

SR が大きいほど「勉強時間が点数に影響している」と言えます。

決定係数R²との関係

実は、決定係数R²は平方和を使って表せます。

R² = ^S_R/_{S_T} = 1 − ^S_e/_{S_T}

R² = 「全体のバラつきのうち、回帰で説明できる割合」

自由度の分解

平方和だけでなく、自由度も分解されます。これが分散分析表の重要なポイントです。

自由度の内訳

φ_T = φ_R + φ_e

(n − 1) = 1 + (n − 2)

要因	自由度	説明
全体	n − 1	データ数nから平均を1つ推定するので−1
回帰	1	単回帰では「傾き」1つだけを推定
残差	n − 2	切片と傾きの2つを推定するので−2

分散分析表の構造

分散分析表は、以下の5列で構成されます。

分散分析表のテンプレート

要因	平方和 S	自由度 φ	平均平方 V	F値
回帰 R	S_R	1	V_R = S_R/1	F₀ = V_R/V_e
残差 e	S_e	n − 2	V_e = S_e/(n−2)	−
全体 T	S_T	n − 1	−	−

各列の意味：

平方和 S：バラつきの大きさ（二乗和）
自由度 φ：自由に動ける値の数
平均平方 V：平方和 ÷ 自由度（分散の推定値）
F値：V_R/V_e（回帰の効果 ÷ 誤差の比）

F検定の判定方法

F検定の判定基準

帰無仮説 H₀：傾きβ = 0（xはyに影響しない）
対立仮説 H₁：傾きβ ≠ 0（xはyに影響する）

F₀ > F(1, n−2; α) ならば H₀を棄却（回帰式は有意）

Lack of Fitの検定とは？｜「この直線、本当に正しいの？」をF検定で見破る方法

計算例：5点のデータで分散分析表を作成

以下のデータを使って、分散分析表を作成し、回帰式の有意性を検定してみましょう。

データ（n = 5）

i	1	2	3	4	5
x	1	2	3	4	5
y	2	4	5	4	6

Step 1：基本統計量の計算

平均：x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3　,　ȳ = (2+4+5+4+6)/5 = 4.2

偏差の積和：Σ(x−x̄)(y−ȳ) = (−2)(−2.2) + (−1)(−0.2) + (0)(0.8) + (1)(−0.2) + (2)(1.8) = 4.4 + 0.2 + 0 − 0.2 + 3.6 = 8

xの偏差平方和：Σ(x−x̄)² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

Step 2：回帰係数の計算

傾き b = Σ(x−x̄)(y−ȳ) / Σ(x−x̄)² = 8 / 10 = 0.8

切片 a = ȳ − b × x̄ = 4.2 − 0.8 × 3 = 1.8

回帰式：ŷ = 1.8 + 0.8x

Step 3：予測値ŷの計算

i	x	y	ŷ = 1.8+0.8x	y − ȳ	ŷ − ȳ	y − ŷ
1	1	2	2.6	−2.2	−1.6	−0.6
2	2	4	3.4	−0.2	−0.8	+0.6
3	3	5	4.2	+0.8	0	+0.8
4	4	4	5.0	−0.2	+0.8	−1.0
5	5	6	5.8	+1.8	+1.6	+0.2

Step 4：3つの平方和を計算

S_T = Σ(y−ȳ)² = (−2.2)² + (−0.2)² + (0.8)² + (−0.2)² + (1.8)² = 4.84 + 0.04 + 0.64 + 0.04 + 3.24 = 10.8

S_R = Σ(ŷ−ȳ)² = (−1.6)² + (−0.8)² + (0)² + (0.8)² + (1.6)² = 2.56 + 0.64 + 0 + 0.64 + 2.56 = 6.4

S_e = Σ(y−ŷ)² = (−0.6)² + (0.6)² + (0.8)² + (−1.0)² + (0.2)² = 0.36 + 0.36 + 0.64 + 1.0 + 0.04 = 2.4

検算：S_T = S_R + S_e → 10.8 ≠ 6.4 + 2.4 = 8.8 ... ※丸め誤差あり

簡便公式を使う方法
S_R = b × Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 0.8 × 8 = 6.4
S_e = S_T − S_R = 10.8 − 6.4 = 4.4（こちらが正確）

Step 5：分散分析表の完成

要因	平方和 S	自由度 φ	平均平方 V	F₀
回帰 R	6.4	1	6.4	4.36
残差 e	4.4	3	1.47	−
全体 T	10.8	4	−	−

F₀の計算：F₀ = V_R / V_e = 6.4 / 1.47 = 4.36

F検定による判定

F分布表との比較

有意水準α = 0.05で検定します。

F分布表より：F(1, 3; 0.05) = 10.13

計算したF値：F₀ = 4.36

判定結果

F₀ = 4.36 ＜ F(1, 3; 0.05) = 10.13

→ 帰無仮説を棄却できない（有意水準5%で有意とは言えない）

結果の解釈

この例では、「xがyに影響する」とは言えないという結果になりました。

ただし、これは「影響がない」ことを証明したわけではありません。サンプルサイズがn=5と小さいため、効果を検出するパワーが不足している可能性があります。

参考：R² = S_R/S_T = 6.4/10.8 = 0.59（回帰で59%を説明）