決定係数R²とは？意味・求め方・目安を図解｜寄与率との関係も

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結論：寄与率R²は「予測がどれだけ当たっているか」の指標

いきなり結論からお伝えします。

寄与率（R²）とは、「データ全体のバラつきのうち、回帰式（予測式）でどれだけ説明できているか」を0〜1の数値で表したものです。

つまり、R²が1に近いほど「予測が当たっている」、0に近いほど「予測が当たっていない」ということです。

この指標がなぜ重要なのか、なぜこの式になるのか、これから順を追って解説していきます。

まず「バラつきの分解」を理解しよう

寄与率R²を理解するには、「バラつきを分解する」という考え方が鍵になります。

回帰分析の目的を思い出す

回帰分析では、「yを予測したい」というのが目的です。例えば：

• 勉強時間（x）からテストの点数（y）を予測したい
• 広告費（x）から売上（y）を予測したい
• 気温（x）からアイスの売上（y）を予測したい

そして、最小二乗法で回帰直線 ŷ = a + bx を求めます。

でも、ここで疑問が生まれます。

この疑問に答えるのが、寄与率R²です。

yのバラつきを「2つの成分」に分解する

ここからが核心です。yのバラつき（変動）は、2つの成分に分解できます。

具体的に、あるデータ点を考えてみましょう。実際の値がyᵢ、回帰式による予測値がŷᵢ、全データの平均がȳだとします。

そして、この3つには以下の関係があります。

平方和の分解：ST = SR + Se

上の式を全データについて2乗して合計すると、平方和の分解式になります。

つまり、「yの全体的なバラつき」は「回帰で説明できる部分」と「説明できない部分」に分けられるということです。

寄与率R²の定義：「説明できた割合」

ここまで理解できれば、寄与率R²の定義は簡単です。

この式の意味を言葉で表すと：

R²の値の解釈：0から1の間で「当てはまりの良さ」を表す

R²は0以上1以下の値を取ります。それぞれの意味を見てみましょう。

R²の値と意味

R²の値	意味	イメージ
R² = 1.00	完璧な予測。すべてのデータが回帰直線上にある	100%的中
R² = 0.90〜0.99	非常に高い説明力。予測がよく当たる	優秀
R² = 0.70〜0.89	高い説明力。実用的に使える場合が多い	良い
R² = 0.50〜0.69	中程度の説明力。参考にはなるが注意が必要	まあまあ
R² = 0.00〜0.49	低い説明力。xとyの関係が弱い	改善が必要
R² = 0.00	xではyを全く説明できない	× 関係なし

「決定係数」「寄与率」「説明率」…呼び方が多い理由

ここで、多くの人が混乱するポイントを整理しておきましょう。R²には複数の呼び方があります。

呼び方	主に使われる分野	英語
決定係数	統計学、データサイエンス	Coefficient of Determination
寄与率	品質管理、QC検定、実験計画法	Contribution Ratio
説明率	一部の教科書	Explanation Ratio
R²（アールスクエア）	共通	R-squared

なぜ呼び方が複数あるの？

歴史的な経緯と、分野ごとの文化の違いが原因です。

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R²の落とし穴：変数を増やすと必ず上がる問題

ここからは、R²の重大な欠点について説明します。これを知らないと、誤った判断をしてしまう可能性があります。

説明変数を増やすとR²は「必ず」上がる

重回帰分析（説明変数が複数ある回帰分析）では、説明変数を増やせば増やすほど、R²は必ず大きくなります。絶対に下がりません。

なぜこうなるかというと、どんな変数でも「偶然の一致」で少しは説明できてしまうからです。

データが100個あれば、無関係な変数でも偶然yと少し相関することがあります。その「偶然の相関」もR²に加算されてしまうのです。

これの何が問題？

「R²が高い＝良いモデル」と単純に考えると、以下の問題が起きます。

• 無意味な変数を入れてもR²が上がるので、本当に重要な変数がわからなくなる
• 過学習（オーバーフィッティング）が起きやすくなる
• 新しいデータに対する予測精度が落ちる

この問題を解決するために生まれたのが、自由度調整済み寄与率（R̄²）です。

自由度調整済み寄与率（R̄²）：無駄な変数にペナルティを与える

自由度調整済み寄与率（Adjusted R²、R̄²）は、「変数を増やすと必ずR²が上がる」問題を解決するために考案されました。

自由度調整済みR²の公式

これを変形すると、以下の形にもなります。

この式の意味は？

普通のR²との違いを見てみましょう。

指標	分母で使う自由度	特徴
R²	Se, ST をそのまま使う	変数を増やすと必ず上がる
R̄²	Se÷(n−p−1), ST÷(n−1)	無駄な変数を入れると下がることもある

ポイントは、分母の (n − p − 1) の部分です。

R²とR̄²の比較例

具体的な数値で見てみましょう。データ数n=100とします。

モデル	変数の数 p	R²	R̄²	判断
広告費のみ	1	0.600	0.596	—
広告費＋気温	2	0.720	0.714	○ 改善
広告費＋気温＋社長の年齢	3	0.722	0.713	× 悪化

R²だけ見ると「社長の年齢を入れた方が良い」ように見えますが、R̄²を見ると「入れない方が良い」とわかります。これが自由度調整の威力です。

R²とR̄²、どちらを使うべき？

結論から言うと、状況によって使い分けるのがベストです。

状況	おすすめ	理由
単回帰分析（変数1つ）	R²でOK	変数が1つなので調整の必要なし
重回帰分析（変数複数）	R̄²を優先	変数選択の判断に使える
モデル同士の比較	R̄²を優先	変数の数が違っても公平に比較できる
QC検定の問題	問題文に従う	「寄与率」と「自由度調整済み寄与率」は別々に出題される

R²の注意点：高ければ良いわけではない

最後に、R²を使う上での重要な注意点をまとめます。

注意点①：R²が高くても因果関係は証明できない

R²=0.95でも、「xがyの原因である」とは言えません。あくまで「相関が強い」というだけです。

注意点②：外れ値に弱い

極端な外れ値が1つあるだけで、R²が大きく変わることがあります。必ず散布図を確認し、外れ値の影響をチェックしましょう。

注意点③：非線形な関係には対応できない

R²は「直線でどれだけ説明できるか」を測っています。曲線的な関係がある場合、R²が低くても「関係がない」とは限りません。

注意点④：サンプルサイズが小さいと不安定

データが少ないと、R²の値は不安定になります。たまたまR²=0.90になっても、データを増やすと大きく変わることがあります。

計算例：実際にR²を求めてみよう

最後に、具体的な数値でR²を計算してみましょう。

例題

解答

R² = 1 − Se/ST の公式を使います。

答え：R² = 0.75（75%）

これは「yの全体的なバラつきのうち、75%は回帰式で説明できている」という意味です。残り25%は説明できない残差です。

まとめ：寄与率R²の完全理解

寄与率（決定係数）は、回帰分析の「通信簿」のようなものです。この予測モデルがどれくらい信頼できるかを、0から1の数値で教えてくれます。

ただし、R²だけを見て判断するのは危険です。散布図を描いて視覚的に確認する、残差分析を行う、因果関係と相関関係を混同しないなど、総合的な判断が大切です。