【計算例あり】検出力とサンプルサイズ｜「差が出なかった」を防ぐnの決め方

😰 こんな経験、ありませんか？

• 実験したけど「有意差なし」…本当に差がないの？
• サンプル数は「10個くらいでいいかな」と適当に決めた…
• 上司に「なぜn=30にしたの？」と聞かれて答えられなかった…
• 検出力（Power）って聞いたことあるけど、意味がわからない…
• 実験をやり直す時間もコストもない…最初から正しく計画したい！

💡 この記事の結論

検出力（Power）とは、「本当に差があるとき、それを正しく検出できる確率」のことです。

検出力が低いまま実験すると、「差があるのに検出できない」という失敗を犯します。
これを防ぐには、実験前に必要なサンプルサイズnを計算しておく必要があります。

目安として検出力80%以上を確保できるnを設定しましょう。

📚 この記事でわかること

• 検出力（Power）の意味と重要性
• 第1種の過誤（α）と第2種の過誤（β）の関係
• 検出力を決める4つの要素
• 必要なサンプルサイズnの計算方法（具体例つき）
• 検出力分析の実務での活用法

📖 この記事を読む前に

「検定の基本」「有意水準α」「帰無仮説と対立仮説」がわかっていると、この記事がスムーズに読めます。

📋 ケース：新しい製造方法の効果検証

⚠️ でも待ってください！
「有意差なし」＝「効果がない」ではありません！

🔥 重要な真実

「有意差なし」という結果には、2つの可能性があります。

① 本当に差がない（新方法は効果なし）
② 差はあるけど、サンプル数が少なすぎて検出できなかった

もし②だった場合、本当は効果がある新方法を捨ててしまうという大損失になります。

統計検定を「裁判」に例えてみましょう。
被告人（＝帰無仮説）を「有罪か無罪か」判断します。

💡 ポイント

有意水準 α は私たちが「5%」などと自分で決めます。
しかし β はサンプルサイズや効果の大きさに依存するため、意識的にコントロールしないと大きくなってしまいます。

そこで登場するのが「検出力」という考え方です。

検出力（Power）の定義

空港の金属探知機を想像してください。

検出力が低い探知機では、ナイフを持った人を見逃してしまうかもしれません。
これが統計検定における「第2種の過誤（β）」です。

検出力 = 1 − β なので、βを小さくすれば検出力が上がります。

📌 業界標準

一般的な研究や品質管理では、検出力80%（β=0.20）以上が標準です。
医薬品の臨床試験など重要な場面では、90%以上を求められることもあります。

統計検定では、2つの世界を同時に考えます。

2つの世界では、それぞれ標本平均の分布が存在します。

重なっている部分が大きいほど、「差があるのに見逃す（β）」確率が高くなります。
つまり、検出力が低くなります。

💡 超重要ポイント

検出力を上げる＝H₁分布が棄却域にたくさん入るようにする

そのためには…
① 2つの分布を離す（効果量を大きくする）
② 分布を細くする（サンプルサイズを増やす）
③ 棄却域を広くする（αを大きくする）※ただしトレードオフ

標準化効果量（Cohen's d）の公式

「検出したい差（δ）」を「バラつき（σ）」で割って標準化したもの。
単位に依存しないので、異なる研究間で比較できます。

💡 実務でのヒント

効果量 d が小さいほど、検出するのに大きなサンプルサイズが必要になります。

例えば d=0.2 の小さな効果を検出力80%で検出するには、各群 n≈400 も必要です！
一方、d=0.8 の大きな効果なら、各群 n≈26 で十分です。

サンプルサイズの公式（1標本）

※厳密にはt分布を使いますが、n≧30程度なら正規分布（z）で近似できます

サンプルサイズの公式（2標本、各群）

※2群を比較するので、1標本の2倍必要

💡 簡易公式（覚えやすい）

α=0.05、Power=80% のとき、z_α/2 + z_β ≈ 1.96 + 0.84 = 2.80

この「2.8」を覚えておくと、概算が楽になります！
n ≈ 7.84 × σ² / δ²　（1標本）
n ≈ 15.68 × σ² / δ²　（2標本・各群）

🏭 状況設定

ある製品の引張強度（単位：MPa）を新方法で改善できるか検証したい。

既存方法：平均 μ₀ = 100 MPa、標準偏差 σ = 10 MPa（過去データより）
目標：5 MPa 以上の改善効果があれば「意味がある」と考える（δ = 5）
条件：有意水準 α = 0.05（両側）、検出力 80% 以上を確保

問い：何個のサンプルを測定すればよいか？

z_α/2：α = 0.05 の両側検定 → z = 1.96

z_β：Power = 80%（β = 0.20）→ z = 0.84

n = (z_α/2 + z_β)² × σ² / δ²

n = (1.96 + 0.84)² × 10² / 5²

n = (2.80)² × 100 / 25

n = 7.84 × 4

n = 31.36 → n = 32個（切り上げ）

📊 結論

5 MPa の改善効果を検出力80%で検出するには、
最低 32個 のサンプルが必要です。

もし n=10 で実験していたら、検出力は約35%しかなく、
65%の確率で「効果なし」と誤判定してしまうところでした。

💡 ポイント

検出力を80%から90%に上げるだけで、必要なサンプル数は32個 → 42個に増えます。
検出力を上げたいなら、それだけコストと時間がかかることを覚えておきましょう。

実務では「検出力80%」が費用対効果のバランスが良いとされています。

🏭 状況設定

A工場とB工場の製品品質（平均値）に差があるか検証したい。

過去データ：標準偏差 σ = 8 （両工場とも同程度と仮定）
目標：3 以上の差があれば検出したい（δ = 3）
条件：α = 0.05（両側）、検出力 80%

問い：各工場から何個ずつサンプリングすればよいか？

n = 2 × (z_α/2 + z_β)² × σ² / δ²

n = 2 × (1.96 + 0.84)² × 8² / 3²

n = 2 × 7.84 × 64 / 9

n = 2 × 55.6

n = 111.2 → 各群 n = 112個（合計 224個）

💡 早見表の使い方

1. 「どの程度の差を検出したいか」を決める
2. 過去データから σ を推定する
3. d = δ/σ を計算する
4. 表から必要なサンプルサイズを読み取る

例：「1σの半分（d=0.5）程度の差を見つけたい」なら、2標本で各群64個必要

💡 覚え方のコツ

「検出力」＝「金属探知機の感度」

感度が低い探知機（検出力が低い検定）では、
ナイフを持った人（本当の差）を見逃してしまう！

✅ 実験前チェックリスト

🎊

おめでとうございます！

これで「計量値データの平均に関する検定・推定」シリーズは完了です！

Z検定 → t検定（1標本・2標本）→ ウェルチ → 対応あり → 区間推定 → 検出力
と学んできました。実務でデータ分析をする力が身についたはずです！

📖 NEXT STEP

次は「計数値データの検定・推定」へ進もう！

ここまでは「長さ」「重さ」などの計量値を扱ってきました。
次は「不良品の個数」「賛成/反対の人数」などの計数値の検定を学びましょう。
母比率の検定やカイ二乗検定など、実務で頻出のテーマが待っています！

🗺️ 検定・推定の全体像を確認したい方へ

「どの検定を使えばいいかわからない」「学習の順番を確認したい」という方は、
全体のロードマップ記事をご覧ください。