電圧降下と電力損失の公式｜送電線の√3I(Rcosθ＋Xsinθ)と3I²Rを図解

こんな経験はありませんか？

• 「Rcosθ＋Xsinθ」の公式が丸暗記で、なぜこの形になるのかわからない
• cosθとsinθの位置がどっちか毎回迷って、結局間違える
• 「電圧降下」と「電力損失」は別モノだと聞くけど、何が違うの？
• 「電圧降下率」「電力損失率」の計算パターンが整理できていない
• 単相と三相で公式が変わって混乱する

○ この記事でわかること

• 電圧降下の近似式 v = √3 I (Rcosθ + Xsinθ) が「なぜこの形になるのか」をベクトル図で導出
• 電力損失の公式 P_L = 3I²R の意味と「なぜ3倍なのか」
• 電圧降下率・電力損失率の計算パターンを途中式つきで解説
• 単相2線式・単相3線式・三相3線式の公式を比較表で一括整理
• 試験で出る4つの計算パターンを早見表で完全網羅

最大のポイント：原因が違う！

電圧降下の原因は抵抗R とリアクタンスX の両方です。一方、電力損失の原因は抵抗R だけです。リアクタンスX はエネルギーを蓄えて返すだけなので、電力を「消費」しません。この違いがわかっていないと、公式を混同します。

cosθとsinθの関係

cosθ = 0.8 のとき、sinθ = √(1 − 0.8²) = √(1 − 0.64) = √0.36 = 0.6。この「cosθからsinθを求める計算」は電圧降下の問題で毎回使います。三平方の定理と同じ原理です。

初心者が一番間違えるポイント

電力損失の計算で「I²R + I²X」としてしまう人が非常に多いです。しかし電力損失に X は関係しません。X はエネルギーを蓄えて返すだけなので、「消費」はゼロです。電力損失は I²R のみです。

• 送電端の相電圧：E_s = V_s / √3

• 受電端の相電圧：E_r = V_r / √3

• 1線の抵抗：R [Ω]

• 1線のリアクタンス：X [Ω]

• 線電流：I [A]（力率 cosθ の遅れ負荷）

1相分の電圧の関係（ベクトル式）

Ė_s = Ė_r + (R + jX) × İ

送電端電圧 = 受電端電圧 + 電線のインピーダンスによる電圧降下

STEP 1：基準として受電端電圧 E_r を横向きに描く

ベクトル図の基準（横軸）として、受電端電圧 E_r を右向きに描きます。これが出発点です。

STEP 2：電流 I を E_r より θ だけ遅らせて描く

負荷の力率が cosθ（遅れ）なので、電流 I は受電端電圧 E_r よりも角度 θ だけ時計回りに遅れた方向に描きます。

STEP 3：E_r の先端に RI（抵抗分の電圧降下）を加える

抵抗による電圧降下 RI は、電流 I と同じ方向（同位相）に描きます。抵抗は電流に対して位相差を生じさせないからです。

STEP 4：RI の先端に XI（リアクタンス分の電圧降下）を加える

リアクタンス（コイル成分）による電圧降下 XI は、電流 I から90°進んだ方向に描きます。コイルの電圧は電流より90°進むからです。

STEP 5：原点 O から最後の先端まで結ぶ → これが送電端電圧 E_s

原点 O から、XI の先端までを結んだベクトルが送電端電圧 E_s です。E_s と E_r の差が、電圧降下の「正体」です。

E_s = √{ (E_r + RIcosθ + XIsinθ)² + (XIcosθ − RIsinθ)² }

近似式（1相あたり）

E_s ≈ E_r + RI cosθ + XI sinθ

1相あたりの電圧降下 = E_s − E_r = RI cosθ + XI sinθ

三相3線式 送電線の電圧降下（近似式）

v = √3 I (R cosθ + X sinθ) [V]

v：電圧降下（V_s − V_r）[V]　I：線電流 [A]　R：1線の抵抗 [Ω]　X：1線のリアクタンス [Ω]
cosθ：負荷力率　sinθ = √(1 − cos²θ)

なぜcosとsinの位置はこうなるの？

「R に cosθ」「X に sinθ」がつくのは、ベクトル図で RI のE_r方向成分が RI cosθ、XI のE_r方向成分が XI sinθ だからです。cosθ は「力率＝有効成分」、sinθ は「無効成分」。R は有効電力に関わるからcosθ、X は無効電力に関わるからsinθ。直感と一致するので、ベクトル図を理解すれば二度と迷いません。

三相3線式の電力損失

P_L = 3 I² R [W]

P_L：電力損失 [W]　I：線電流 [A]　R：1線の抵抗 [Ω]

• 1本目の電力損失 = I² × R

• 2本目の電力損失 = I² × R

• 3本目の電力損失 = I² × R

→ 合計 = 3 × I²R

覚え方

「電力損失は R だけ。X はタダ働き（蓄えて返すだけ）」——これだけ覚えておけば、公式に X を入れるミスがなくなります。

I = P / (√3 V_r cosθ)

I² = P² / (3 V_r² cos²θ)

電力損失（電力Pで表した版）

P_L = R P² / (V_r² cos²θ) [W]

P：負荷の有効電力 [W]　V_r：受電端線間電圧 [V]　R：1線の抵抗 [Ω]

この変形が出題の本命

「力率が70%から91%に改善されると、電力損失は何倍になるか？」という問題が頻出です。P_L ∝ 1/cos²θ なので、P_L2/P_L1 = cos²θ₁ / cos²θ₂ で比を取れば瞬殺できます。

係数の覚え方

• 単相2線式：電線が「行き」と「帰り」の2本あるから、電圧降下も電力損失も2倍
• 三相3線式：相電圧ベースを線間電圧に換算するから電圧降下は√3倍、電線が3本だから電力損失は3倍

電圧降下率 ε = (V_s − V_r) / V_r × 100 [%]

= v / V_r × 100 = √3 I(Rcosθ + Xsinθ) / V_r × 100

電力損失率 = P_L / P × 100 [%]

= 3I²R / (√3 V_r I cosθ) × 100 = √3 IR / (V_r cosθ) × 100

電圧降下率と電力損失率の関係

力率 cosθ ≈ 1（力率がほぼ1）かつ X が小さい場合、電圧降下率 ≈ 電力損失率 になります。これは試験でも出る知識です。ただし力率が低い場合は両者は一致しません。

こう長 5km の三相3線式1回線送電線路がある。送電端線間電圧が 22,200 V、受電端線間電圧が 22,000 V、負荷力率が 85%（遅れ）であるとき、負荷の有効電力 [kW] を求めよ。
ただし、1km あたりの電線1線の抵抗は 0.182 Ω、リアクタンスは 0.355 Ω とし、近似式を用いて解くこと。

STEP 1：送電線全体の R と X を求める

R = 0.182 × 5 = 0.910 Ω
X = 0.355 × 5 = 1.775 Ω

STEP 2：電圧降下 v を求める

v = V_s − V_r = 22,200 − 22,000 = 200 V

STEP 3：sinθ を求める

cosθ = 0.85
sinθ = √(1 − 0.85²) = √(1 − 0.7225) = √0.2775 ≈ 0.527

STEP 4：近似式に代入して電流 I を求める

v = √3 I (Rcosθ + Xsinθ)
200 = √3 × I × (0.910 × 0.85 + 1.775 × 0.527)
200 = √3 × I × (0.7735 + 0.9354)
200 = √3 × I × 1.7089
200 = 2.9590 × I
I = 200 / 2.9590 ≈ 67.6 A

STEP 5：有効電力 P を求める

P = √3 × V_r × I × cosθ
= √3 × 22,000 × 67.6 × 0.85
= 38,105 × 67.6 × 0.85
≈ 2,189,000 W
≈ 2,189 kW

答え：P ≈ 2,189 kW

試験のコツ

この問題のポイントは「v から I を逆算する」という流れです。電圧降下 v が与えられている → 近似式に代入して I を求める → P = √3VIcosθ で有効電力を算出。この「逆算パターン」は非常に頻出です。

三相3線式送電線で、力率70%で W₁ [kW] の電力を送電していたところ、力率を91%に改善して W₂ [kW] を送電した。電力損失を同じにするとき、W₂ / W₁ はいくらか。

STEP 1：電力損失が同じという条件を式にする

P_L1 = P_L2
R W₁² / (V_r² cos²θ₁) = R W₂² / (V_r² cos²θ₂)
→ W₁² / cos²θ₁ = W₂² / cos²θ₂

STEP 2：W₂/W₁ を求める

W₂ / W₁ = cosθ₂ / cosθ₁ = 0.91 / 0.70 = 1.3

答え：W₂ / W₁ = 1.3（力率改善で同じ損失のまま30%多く送電可能）

現場での意味

力率を70%→91%に改善するだけで、同じ送電線・同じ損失で30%も多く電力を送れる。工場で力率改善用のコンデンサを設置する理由がここにあります。力率改善は「電気代の割引」だけでなく「送電設備の有効活用」にも直結しているのです。

こう長 20km の三相3線式2回線送電線路で、受電端電圧 33kV、負荷 6,600kW、力率 0.9（遅れ）の電力を送電する。電力損失率を5%以下にするには、電線断面積を何 mm² 以上にすればよいか。
ただし、1mm² で 1m あたりの抵抗は 1/35 Ω とし、リアクタンスは無視する。

STEP 1：線電流 I_L を求める

P = √3 V_r I_L cosθ
I_L = 6,600 × 10³ / (√3 × 33 × 10³ × 0.9) = 128.3 A

STEP 2：2回線なので1回線あたりの電流 I を求める

I = I_L / 2 = 128.3 / 2 = 64.15 A

「2回線」の意味

「2回線」とは、同じ経路に三相送電線を2組（合計6本の電線）張っているということです。電流は2組に分かれるので、1回線あたりの電流は半分になります。

STEP 3：断面積 S を含んだ抵抗 R の式を立てる

R = ρ × l / S = (1/35) × 20,000 / S = 571.4 / S [Ω]

STEP 4：2回線合計の電力損失を立式する

2回線の合計損失 P_L = 2 × 3 I² R = 6 × (64.15)² × (571.4 / S)
= 6 × 4115.2 × 571.4 / S = 14,110,000 / S [W]

STEP 5：損失率 ≤ 5% の条件からS を求める

P_L ≤ 0.05 × P
14,110,000 / S ≤ 0.05 × 6,600,000
14,110,000 / S ≤ 330,000
S ≥ 14,110,000 / 330,000
S ≥ 42.8 mm²

答え：S ≥ 42.8 mm²（43 mm² 以上必要）

問題文を読んだら最初にやること

「何を求めよ？」を確認 → 上の4パターンのどれかに分類 → 使う公式が決まる。パターンを特定してから計算を始めるのが、時間切れを防ぐ最大のコツです。

電圧降下の近似式 v = √3 I(Rcosθ + Xsinθ) の「R に cos、X に sin」の理由をベクトル図で説明できる

電力損失は P_L = 3I²R であり、リアクタンス X は関係ない

cosθ から sinθ を求める計算 sinθ = √(1−cos²θ) が即座にできる

力率改善問題では P_L = RP²/(V_r²cos²θ) を使い、比を取る

単相2線式は係数「2」、三相3線式は電圧降下が「√3」・損失が「3」

力率 cosθ ≈ 1 のとき、電圧降下率 ≈ 電力損失率

「2回線」のときは1回線あたりの電流を半分にして計算する