同期機の計算パターン完全網羅｜短絡比・出力・ベクトル図を途中式で完全解説

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同期機の全公式チートシート──試験直前に見返す1枚

📐 同期機公式一覧

公式名	公式	使うパターン
同期速度	Ns = 120f / P	パターン①
等価回路（発電機）	E₀ = V + jXsI	パターン②
E₀ の大きさ（ra=0、遅れ）	E₀ = √[(Vcosφ)² + (Vsinφ + XsI)²]	パターン②
出力（1相分）	P = (VE₀ / Xs) sinδ	パターン③
最大出力	Pmax = VE₀ / Xs	パターン③
同期化力	Ps = (VE₀ / Xs) cosδ	パターン③
短絡比	Ks = If1 / If2	パターン④
Ks と %Zs の関係	Ks = 100 / %Zs	パターン④
三相出力	P₃φ = √3 × V_L × I_L × cosφ	パターン⑤
電圧変動率	ε = (E₀ − V) / V × 100 [%]	パターン⑤

💡 ポイント
公式は多く見えますが、核になるのは「E₀ = V + jXsI」と「P = (VE₀/Xs)sinδ」の2本です。残りはこの2本の変形や応用にすぎません。

パターン①：同期速度の計算 ── Ns, f, P の相互変換

📐 使う公式
Ns = 120f / P

見分け方：問題文に「極数」「周波数」「回転速度」のうち2つが与えられたら、このパターンです。

例題1-1：極数を求める

📝 問題
周波数 60 Hz で同期速度 720 min⁻¹ の同期発電機の極数 P を求めよ。

【解答】

Ns = 120f / P を P について解くと：

P = 120f / Ns = 120 × 60 / 720 = 7,200 / 720

P = 10 極　✅

例題1-2：周波数を求める

📝 問題
6極の同期発電機が 1,000 min⁻¹ で回転しているとき、発生する交流の周波数を求めよ。

【解答】

f = Ns × P / 120 = 1,000 × 6 / 120 = 6,000 / 120

f = 50 Hz　✅

💡 ミス防止
P は必ず偶数です。答えが奇数になったら計算ミスを疑いましょう。また、日本の商用周波数は 50Hz か 60Hz のどちらか。答えがそれ以外なら見直しが必要です。

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パターン②：誘導起電力 E₀ の算出 ── ベクトル図の計算

📐 使う公式（ra = 0、遅れ力率）
E₀ = √[(Vcosφ)² + (Vsinφ + XsI)²]

見分け方：V, I, Xs, cosφ が与えられて「E₀を求めよ」と言われたら、このパターンです。

例題2：E₀ を求める（三相・遅れ力率）

📝 問題
三相同期発電機（Y結線）。線間電圧 V_L = 6,600 V、線電流 I = 200 A、同期リアクタンス Xs = 10 Ω、力率 cosφ = 0.8（遅れ）。電機子抵抗は無視する。1相分の誘導起電力 E₀ を求めよ。

【解答】

STEP 1：1相分の相電圧に換算

V = V_L / √3 = 6,600 / √3 ≈ 3,810 V

STEP 2：sinφ を求める

cosφ = 0.8 → sinφ = 0.6

STEP 3：横成分と縦成分を計算

横成分 = Vcosφ = 3,810 × 0.8 = 3,048 V

縦成分 = Vsinφ + XsI = 3,810 × 0.6 + 10 × 200 = 2,286 + 2,000 = 4,286 V

STEP 4：三平方の定理で E₀ を算出

E₀ = √(3,048² + 4,286²) = √(9,290,304 + 18,369,796) = √27,660,100

E₀ ≈ 5,259 V（1相分）　✅

⚠️ 力率が「進み」の場合
進み力率のときは、縦成分が Vsinφ − XsI（引き算）になります。遅れ＝足し算、進み＝引き算。力率の「遅れ」「進み」を確認してから計算を始めてください。

パターン③：出力 P・負荷角 δ・最大出力の計算

📐 使う公式
P = (VE₀ / Xs) sinδ　[W]（1相分）

見分け方：V, E₀, Xs, δ のうち3つが与えられて残り1つを求める問題。または「最大出力」を求める問題。

例題3-1：三相出力を求める

📝 問題
三相同期発電機（Y結線）。線間電圧 V_L = 6,600 V、1相分の誘導起電力 E₀ = 5,000 V、同期リアクタンス Xs = 8 Ω、負荷角 δ = 30°。三相出力 P₃φ [kW] を求めよ。

【解答】

STEP 1：相電圧に換算

V = 6,600 / √3 ≈ 3,810 V

STEP 2：1相分の出力を計算

P = (V × E₀ / Xs) × sinδ

= (3,810 × 5,000 / 8) × sin30°

= 2,381,250 × 0.5

= 1,190,625 W

STEP 3：三相出力に変換

P₃φ = 3 × P = 3 × 1,190,625 = 3,571,875 W

P₃φ ≈ 3,572 kW　✅

例題3-2：最大出力と負荷角を求める

📝 問題
上と同じ発電機の1相分の最大出力 Pmax [kW] を求めよ。また、1相分の出力が 1,500 kW のときの負荷角 δ を求めよ。

【解答①：Pmax】

Pmax = VE₀ / Xs = 3,810 × 5,000 / 8 = 2,381,250 W

Pmax ≈ 2,381 kW　✅

【解答②：δ を求める】

sinδ = P × Xs / (V × E₀) = 1,500,000 × 8 / (3,810 × 5,000)

= 12,000,000 / 19,050,000 ≈ 0.630

δ = sin⁻¹(0.630)

δ ≈ 39°　✅

📘 関連記事（第3回）
同期発電機の出力と負荷角δ｜P=(VE₀/Xs)sinδの意味を完全図解 →

パターン④：短絡比 Ks と %Zs の計算

📐 使う公式
Ks = If1 / If2　　　Ks = 100 / %Zs

見分け方：無負荷飽和曲線や三相短絡曲線のグラフが与えられたら、または「%Zsからの変換」問題。

例題4-1：グラフから短絡比を求める

📝 問題
無負荷飽和曲線より、定格電圧を発生する界磁電流 If1 = 200 A。三相短絡曲線より、定格電流を流す界磁電流 If2 = 160 A。短絡比 Ks と %Zs を求めよ。

【解答】

STEP 1：短絡比を計算

Ks = If1 / If2 = 200 / 160 = 1.25

STEP 2：%Zs に変換

%Zs = 100 / Ks = 100 / 1.25 = 80%

Ks = 1.25、%Zs = 80%　✅

例題4-2：%Zs から同期リアクタンスを求める

📝 問題
定格容量 10 MVA、定格線間電圧 6,600 V（Y結線）、%同期インピーダンス %Zs = 80% の三相同期発電機の同期リアクタンス Xs [Ω] を求めよ（ra ≈ 0 とする）。

【解答】

STEP 1：定格電流を求める

定格容量 = √3 × V_L × I_n より

I_n = 10 × 10⁶ / (√3 × 6,600) = 10,000,000 / 11,431 ≈ 875 A

STEP 2：定格相電圧を求める

V_n = 6,600 / √3 ≈ 3,810 V

STEP 3：%Zs の定義式から Xs を求める

%Zs = (Xs × I_n / V_n) × 100 より

Xs = %Zs × V_n / (100 × I_n)

= 80 × 3,810 / (100 × 875)

= 304,800 / 87,500

Xs ≈ 3.48 Ω　✅

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