ベルヌーイの定理とは何ですか？

流れる水の位置水頭・圧力水頭・速度水頭の合計が、損失を無視するとどの断面でも一定になるという、エネルギー保存の式です。

水頭とは何ですか？

水がもつエネルギーを、水の高さ［m］に直して表したものです。位置水頭・圧力水頭・速度水頭の3つがあります。

連続の式とは何ですか？

管に水が満ちて流れるとき、どの断面でも流量が同じという式で、Q＝A₁v₁＝A₂v₂と表します。

水圧1mは何kPaですか？

水の密度1,000kg/m³、重力加速度9.8m/s²なら、水頭1mは約9.8kPaの水圧にあたります。

ベルヌーイの定理は水力発電の何に使いますか？

水圧管の流速や水圧、有効落差を求めるのに使います。流量と有効落差から水車の出力も計算できます。

ベルヌーイの定理とは？3つの水頭と連続の式を水力発電の過去問で図解｜計算ツール付き

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ベルヌーイの定理は「位置水頭 h ＋圧力水頭 p/ρg ＋速度水頭 v²/2g ＝一定」という、水のエネルギー保存の式です。連続の式 Q＝Av と組み合わせた解き方は流速と水圧を求める手順、答えは計算ツールで確かめられます。

ベルヌーイの定理とは？水がもつ3つのエネルギーの合計は一定

管の中を流れる水は、3種類のエネルギーをもっています。高い所にあることによるエネルギー、押されていること（水圧）によるエネルギー、動いていることによるエネルギーです。ベルヌーイの定理は、損失がなければ、この3つの合計がどの断面でも同じだという決まりです。

項	意味	単位をそろえると
位置水頭 h	基準からの高さ	m
圧力水頭 p/(ρg)	水圧 p を、同じ圧力を生む水の高さに直したもの	m
速度水頭 v²/(2g)	流速 v を、その速さを生む落下の高さに直したもの	m

3つとも「高さ［m］」にそろえてあるので、水頭と呼びます。ρ は水の密度（1,000kg/m³）、g は重力加速度（9.8m/s²）です。

連続の式 Q＝Av：細い所ほど速く流れる

水は押し縮められないので、管に水が満ちて流れているとき、どの断面でも1秒間に通る水の量（流量 Q［m³/s］）は同じです。これが連続の式です。

円い管なら A＝π(内径/2)² なので、内径が2.5mから2.0mに細くなると、断面積は (2.5/2.0)²＝1.5625分の1 になり、流速は1.5625倍になります。

水頭の大きさの目安

量	水頭に直すと
水圧 9.8kPa	1m
水圧 98kPa	10m
水圧 3,000kPa	約306m
流速 3m/s	約0.46m（3²÷19.6）
流速 6.25m/s	約1.99m

水圧管の流速と水圧を求める手順

試験の問題は、ほとんどが「断面Aの内径・流速・水圧と、断面Bの内径・高さの差がわかっていて、断面Bの流速と水圧を求める」形です。次の順で解きます。

電験三種の過去問で確かめる

令和3年度問2：流速と水圧を求める

断面Aは内径2.2m・流速3m/s・圧力24kPa。断面Aより30m低い断面Bは内径2m。断面Bの流速と水圧は？（円周率3.14）

平成18年度問12：細くなる管

点Aは内径2.5m・流速4.0m/s・圧力25kPa。点Aより30m低い点Bは内径2.0m。v_B＝4.0×(2.5/2.0)²＝6.25m/s、p_B＝294,000＋25,000＋8,000−19,531≒307,500Pa → 約307kPa（答4）。

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平成26年度問15：全水頭から水車出力を求める

ペルトン水車の中心線上のA点で、圧力3,000kPa・流速5.3m/s・内径1.2m。(a) 流量 Q＝3.14...×0.6²×5.3≒6m³/s。(b) 有効落差 H＝3,000×10³÷(1,000×9.8)＋5.3²÷(2×9.8)≒306.1＋1.4≒307.6m、出力 P＝9.8×5.99×307.6×0.885≒16,000kW（どちらも答4）。

ベルヌーイの定理は、電力の水力の範囲で、計算問題（A問題・B問題）として何度も出ています。問題文で式が与えられないこともあるので、形ごと覚えておきましょう。

ベルヌーイの定理の計算ツール

2つの断面の内径と高さの差、断面Aの流速と水圧を入れると、断面Bの流速と水圧を求めます。断面Bのほうが低いときは、高さの差を正の値で入れます。

入れた数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。

水の密度1,000kg/m³、重力加速度9.8m/s²、円周率はπで計算します。損失は無視しています。円周率を3.14とする問題では、小数点以下の値が少し変わります。

ベルヌーイの定理でよくある間違い

よくある間違い	正しい考え方
水圧［kPa］と水頭［m］をそのまま足す	圧力は ρg で割って m に直すか、全部を ρg 倍して Pa にそろえる
細い所ほど流速が遅い	連続の式 Q＝Av で、断面積が小さいほど流速は速い
内径をそのまま断面積にする	断面積は π×(内径/2)²。内径の比は2乗で効く
速度水頭は小さいので省く	答えの選択肢の差になる。v²/2g まで入れる
高さの基準をどちらの断面にするかで答えが変わる	基準はどこでもよい。差だけが効くので、低いほうを0にすると楽