【電験三種】電子の運動を完全攻略｜eV=½mv²・円運動の3パターン

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パターン1 - 電界中の電子(直線加速)

まずは電界中の電子から。電圧 V がかかった2枚の電極の間に電子を置くと、電界の力を受けて加速します。

電子が受ける力 F = eE

📐 電子が受ける力
F = e × E [N]
e = 電気素量(1.6×10⁻¹⁹ C)、E = 電界の強さ(V/m)

ここで使う「e」は電子1個の電荷の大きさ(電気素量)です。電子はマイナスですが、計算では大きさだけを使うことが多いので、e はプラスの値として扱います。

最重要公式:eV = ½mv²(エネルギー保存則)

この公式は電子の運動のすべての出発点です。意味を完全に理解してください。

📐 エネルギー保存則(電界版)
eV = ½mv²
電界が電子に与えた仕事 = 電子の運動エネルギー

左辺

eV = 電界が電子にしてくれた仕事
電圧 V[V] の電界を、電荷 e[C] の電子が通過すると、エネルギーは eV[J] もらえる

右辺

½mv² = 電子の運動エネルギー
質量 m[kg]、速度 v[m/s] の電子が持つエネルギー

⚠️ 直感的イメージ
eV = ½mv² は 「ジェットコースターのエネルギー保存」と同じ。位置エネルギー(eV)が、すべて運動エネルギー(½mv²)に変わる、という話。電子も「電界の坂を滑り落ちる」と速くなるのです。

電子の最終速度を求める

eV = ½mv² を v について解くと、加速後の速度が出ます。

📐 電子の最終速度
v = √(2eV / m)
m = 電子の質量(9.1×10⁻³¹ kg)

パターン2 - 磁界中の電子(円運動)

電子が磁界の中に入ると、進路が常に直角に曲げられて、結果的に円運動をします。

なぜ円運動になるのか

磁界中の電子はローレンツ力 F = evB を受けます。この力は速度に常に直角。だから電子は加速も減速もせず、ただ進路だけが曲がっていく。すると一定の半径で円を描くことになります。

⚠️ なぜ「円」になるのか
速度に直角な力が常に働くと、進む方向が少しずつ曲がります。そのまま続けると、自然に「同じ半径の円」を描くようになる。これは「ハンドルを少し切ったまま走る車」と同じです。一定半径で旋回し続けます。

円運動半径 r = mv / eB の導出

円運動半径の式は、「ローレンツ力 = 遠心力」の釣り合いから出てきます。

📐 力の釣り合い
ローレンツ力 = 遠心力
e × v × B = m × v² / r
両辺を整理すると…

📐 電子の円運動半径
r = mv / (eB) [m]
m=質量、v=速度、e=電気素量、B=磁束密度

円運動の周期 T と周波数 f

円運動の1周にかかる時間も覚えておきましょう。これも頻出です。

📐 周期 T と周波数 f
T = 2πm / (eB) [s]
f = eB / (2πm) [Hz]
注目:T も f も「速度 v に依存しない」

💡 ここが面白い
速度が変わると半径は変わる(r=mv/eB)けど、周期 T は変わらないんです。速い電子は大きな円、遅い電子は小さな円を描くけど、1周にかかる時間は同じ。これは「サイクロトロン共鳴」という応用技術の基礎になっています。

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パターン3 - 加速 → 円運動の合体問題(電験頻出パターン)

電験三種で最も出題されるのがこのパターンです。「電圧 V で加速した電子を、磁界 B の中に入射させたら半径 r はいくらか」という典型問題です。

解法の3ステップ

STEP 1

電界中で速度 v を求める(エネルギー保存)
eV = ½mv² から → v = √(2eV/m)

STEP 2

その速度のまま磁界に突入
磁界中では速度の大きさは変わらない。同じ v で円運動を始める。

STEP 3

円運動半径 r を求める
r = mv/(eB) に v を代入
→ r = (1/B) × √(2mV/e)

📐 合体公式(覚えなくてOK)
r = (1/B) × √(2mV/e)
eV=½mv² と r=mv/eB から導出される

例題:加速→円運動の典型問題

📝 問題
初速度0の電子を電圧 V=200V で加速した後、磁束密度 B=2.0×10⁻³ T の磁界に直角に入射させた。この電子の円運動の半径 r を求めよ。
電気素量 e=1.6×10⁻¹⁹ C、電子の質量 m=9.1×10⁻³¹ kg。

✏️ 解答
STEP 1:電子の速度 v を求める
  v = √(2eV/m) = √(2 × 1.6×10⁻¹⁹ × 200 / 9.1×10⁻³¹)
    = √(7.03×10¹³) ≈ 8.4×10⁶ m/s

STEP 2:円運動半径 r を求める
  r = mv/(eB) = (9.1×10⁻³¹ × 8.4×10⁶) / (1.6×10⁻¹⁹ × 2.0×10⁻³)
    = 7.64×10⁻²⁴ / 3.2×10⁻²² ≈ 0.024 m = 2.4 cm

⚠️ 計算のコツ
指数計算が大量に出てきて混乱しがち。10の何乗かだけ別に計算してから、最後に数値部分と合体させると、ミスが減ります。

電界と磁界の比較表(これだけ覚えればOK)

ここまでの内容を1枚の表にまとめます。試験直前のチートシートとして使ってください。

項目	電界 E 中	磁界 B 中
受ける力	F = eE	F = evB
力の向き	電界と逆向き	速度に常に直角
運動の形	直線で加速	円運動
エネルギー	変化する(eV分増える)	変化しない(一定)
主な公式	eV = ½mv² v = √(2eV/m)	r = mv/(eB) T = 2πm/(eB)
代表的な装置	電子銃、加速器	サイクロトロン、CRT

💡 一発で見抜く方法
問題文に「加速」「電圧V」が出てくる → エネルギー保存(eV=½mv²)
問題文に「磁界B」「半径r」「円運動」が出てくる → r=mv/(eB)
両方出てくる → STEP1で速度を出して、STEP2で半径を出す合体パターン

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過去問の典型3パターン

パターンA:電界中の加速だけ

📝 問題例
電圧 V で加速された電子の最終速度 v を求めよ。

✏️ 解法
使う公式:eV = ½mv² 一発
→ v = √(2eV/m)

パターンB:磁界中の円運動だけ

📝 問題例
速度 v で磁束密度 B の磁界に入射した電子の円運動半径 r を求めよ。

✏️ 解法
使う公式:r = mv/(eB) 一発
v が直接与えられているのでそのまま代入

パターンC:加速 → 円運動の合体問題(最頻出!)

📝 問題例
電圧 V で加速した電子を、磁束密度 B の磁界に直角入射させた。円運動半径 r は?

✏️ 解法
STEP 1:eV=½mv² で v を出す
STEP 2:r=mv/(eB) に v を代入
→ r = (1/B) × √(2mV/e)

🔧 現場の声
この「加速→円運動」は、ブラウン管テレビ・電子顕微鏡・質量分析器など実用的な装置の基礎原理です。資格試験の枠を超えて、エンジニアとして知っておくべき知識。実機を見たことがあれば「あの動作はこの公式で決まっていたのか!」と腹落ちします。

よくある間違い・引っかけポイント

❌

よくある間違い

磁界中で電子が「加速する」と思い込む
eV と ½mv² の左右を逆にする
r=mv/(eB) の e を mc² と混同する
m(電子の質量)を VBE のような別の量と混同
10⁻¹⁹ や 10⁻³¹ の指数計算でミス

✅

正しい考え方

磁界中は速さ一定(向きだけ変わる)
左辺=もらったエネルギー、右辺=現在の運動エネ
e=1.6×10⁻¹⁹ C は試験で与えられる
m=9.1×10⁻³¹ kg(電子の質量)も与えられる
指数だけ別計算 → 最後に合算

⚠️ 単位の混同注意
電子の運動の問題では SI 単位系で統一(電圧=V、電界=V/m、磁束密度=T)。CGS単位など他の単位系が混ざることはないので、与えられた数値をそのまま代入すればOKです。

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