ガウスの法則とは？電気力線の本数Q/εと電束Qで電界を求める方法を図解｜電界の計算ツール付き

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お悩み

こんなふうに思っていませんか？

ガウスの法則って、何を言っている法則なの？
電気力線の本数と電束、電束密度のちがいがあやふや
どんなときに、どうやってガウスの法則で電界を出すのかわからない

この記事でわかること

ガウスの法則とは何か（閉じた面と中の電荷）
電気力線の本数Q/εと、電束Q・電束密度D
点電荷・導体球・線電荷・平面の電界の求め方
電荷と距離を入れるだけの電界の計算ツール

結論｜まず30秒でわかる答え

ガウスの法則とは、閉じた面から出ていく電気力線の本数が、面の中にある電荷Qを誘電率εで割った Q/ε に等しい、という法則です。電荷が球・円筒・平面のような対称な形で並んでいれば、電界の大きさは面のどこでも同じなので、「電界E × 面の面積＝ Q/ε」から、積分を使わずに電界を求められます。点電荷なら E＝Q/(4πεr²) になります。

ガウスの法則とは何かを表すアイキャッチ。正の電荷を透明な球で包み、球から外へ出ていく電気力線

ガウスの法則とは？閉じた面から出る電気力線を数える

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電荷のまわりには電気力線が出ています。電荷を風船のような閉じた面で包むと、面から出ていく電気力線の本数は、中にある電荷の量だけで決まります。風船の大きさや形を変えても、本数は変わりません。これがガウスの法則です。

ガウスの法則

閉じた面から出ていく電気力線の本数＝ Q ÷ ε　（Q：面の中の電荷の合計、ε：誘電率。真空ならε0＝8.854×10⁻¹² F/m）

ポイント	意味
面の中の電荷だけで決まる	面の外にある電荷の電気力線は、入ってきた分だけ出ていくので、差し引き0になる
面の形によらない	球でも箱でも、中の電荷が同じなら出ていく本数は同じ
電荷が−なら	電気力線は面に入ってくる（出ていく本数がマイナス）

電気力線の本数は、1C（クーロン）あたり 1/ε本と決めた量です。電界の強さEは「1m²あたりの電気力線の本数」なので、本数を面積で割れば電界が出ます。

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電気力線の本数と、電束・電束密度のちがい

電験三種では、電気力線の本数と電束をはっきり分けて使います。まちがえやすいので、ここで整理しておきます。

量	式	単位	誘電率で変わる？
電気力線の本数	Q／ε	本	変わる（比誘電率が大きいほど少ない）
電束	Q	C（クーロン）	変わらない
電界 E	電気力線の本数÷面積	V/m	変わる
電束密度 D	電束÷面積＝ εE	C/m²	変わらない

電束を使うと、ガウスの法則は「閉じた面から出る電束の合計＝中の電荷Q」と書けます（∮D·dS＝Q）。誘電体の中でも同じ形で使えるので、電界より電束密度で考えたほうが楽な問題もあります。

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ガウスの法則で電界を求める3ステップ

ステップ	やること	点電荷の例
① 対称な閉じた面を選ぶ	電界の大きさが面のどこでも同じになる形にする	電荷を中心とする半径rの球
② 中の電荷を数える	面の内側にある電荷の合計Qを出す	Q
③ E×面積＝Q/ε を解く	電界が面に垂直なら、本数＝E×面積	E×4πr²＝Q/ε → E＝Q/(4πεr²)

点電荷の電界の式 E＝Q/(4πεr²) は、クーロンの法則から出したものと同じになります。ガウスの法則のよいところは、電荷が広がっていても、対称でさえあれば同じ手順で電界が出せることです。

例題

真空中で1μCの点電荷から0.3m離れた点の電界は？　E＝9×10⁹×1×10⁻⁶÷0.3²≒1.0×10⁵ V/m。電荷から出る電気力線は 1×10⁻⁶÷(8.854×10⁻¹²)≒1.13×10⁵本です。

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形ごとの電界｜点・導体球・線・平面

電荷の形	選ぶ閉じた面	電界 E	距離との関係
点電荷 Q	半径rの球	Q／(4πεr²)	1/r²で弱くなる
導体球（半径a、電荷Q）	半径rの球	外（r≧a）：Q／(4πεr²)、内：0	外は点電荷と同じ
無限に長い線電荷（λ C/m）	半径r・長さLの円筒	λ／(2πεr)	1/rで弱くなる
無限に広い平面電荷（σ C/m²）	平面をはさむ箱	σ／(2ε)	距離によらず一定

導体の中の電界は0

導体に電荷をあたえると、電荷はたがいに反発して表面に集まります。導体の内側に閉じた面をとると中の電荷は0なので、電界も0です。これが、金属の箱で中を電界から守る静電遮蔽のしくみです。

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電界の計算ツール（ガウスの法則）

電荷の形と量、距離、比誘電率を入れてください。電界E・電束密度D・電気力線の本数を出します。

電荷の形電荷の量（μ単位）距離 r［m］比誘電率 εr

入力すると、その場で計算し直します。入力した数字は画面の中で計算するだけで、どこにも送信されません。ε0＝8.854×10⁻¹² F/m で計算しています。

ガウスの法則のよくある間違い

よくある間違い	正しい考え方
面の外の電荷も数える	数えるのは閉じた面の中の電荷だけ
電気力線の本数＝電束	本数はQ/ε（誘電率で変わる）、電束はQ（変わらない）
どんな形でも積分なしで解ける	積分なしで解けるのは、球・円筒・平面などの対称な形
導体の中にも電界がある	静電状態の導体の内側の電界は0。電荷は表面に集まる
平面の電界も距離で弱くなる	無限に広い平面の電界は距離によらず一定