電験三種の数学の公式一覧｜三角関数・複素数・ベクトル・対数を1ページで

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電験三種の数学で、いちばん手が止まるのは交流の問題です。「cos30°」が出た瞬間に止まる。電流を出そうとしたら、100を(6＋j8)で割る式が出てきて、そこでまた止まる。電験三種の理論で止まる場所は、電気の知識より数学のことが多いです。

この記事を書いたのは、このブログの理論の公式一覧に数学の章がなかったからです。電気の公式は覚えたのに、三角関数や複素数の計算で点を落とす。そこを1ページで見返せるようにしました。

載せた公式は、電験王の理論の解説ページで「どの年度のどの問題で使われたか」を1問ずつ確かめたものを中心にしています。例題の数字はすべて自作です。

電験三種でまず覚える数値の早見表

電験三種の計算では、√2＝1.414、√3＝1.732、π＝3.14、1/e＝0.368、log10 2＝0.301 の5つを覚えておくと、ほとんどの問題で電卓の前で迷いません。電卓は四則演算と √ だけが使えるので、三角関数と対数の値は覚えて使います。

数値	値	どこで使うか
√2	1.414	実効値と最大値（最大値＝√2×実効値）、45°の三角比
√3	1.732	三相の線間電圧と相電圧（線間＝√3×相）、三相電力 P＝√3VIcosθ
1/√2	0.707	sin45°・cos45°、力率0.707
1/√3	0.577	tan30°、Δ結線の相電流＝線電流÷√3
π	3.14	角周波数 ω＝2πf、弧度法
2π×50 ／ 2π×60	314 ／ 377	50Hz・60Hz の ω（リアクタンス ωL・1/ωC）
e	2.718	過渡現象の指数関数 e^(−t/τ)
1/e ／ 1−1/e	0.368 ／ 0.632	時定数 τ のときの放電の残り36.8%・充電の63.2%
e^−2 ／ e^−3 ／ e^−5	0.135 ／ 0.050 ／ 0.0067	2τ・3τ・5τ のときの残り（5τでほぼ0）
log10 2 ／ log10 3	0.301 ／ 0.477	dB の計算（2倍→約6dB、電力2倍→約3dB）

値は小数第3位（e^−5 は第4位）まで。値は Python の math で計算して確かめました。電験三種で持ち込める電卓は1台で、四則演算と√ができるものに限られ、関数電卓は使えません（電気技術者試験センターの受験案内の「電卓」の項目）。

√3 は三相の問題でほぼ毎回出ます。覚え方は語呂です。1.732 は「ひとなみにおごれや（1.7320508）」の語呂で覚える人が多い数字です。1/e＝0.368 は、時定数の問題の選択肢にそのまま並ぶこともある数字。

分数・指数・平方根と比例の公式

指数は「掛け算は指数の足し算、割り算は引き算」、平方根は「√a×√b＝√(ab)」と「分母の√は有理化」を押さえれば、単位の換算と式の整理で困りません。比例・反比例は、抵抗 R＝ρℓ/S や電力 P＝V²/R で「何倍になるか」を答える問題で使います。

公式	中身	電験での使いどころ
a^m × a^n ＝ a^(m＋n)	掛け算は指数を足す	10³×10⁻⁶＝10⁻³（kΩ×µF＝ms）
a^m ÷ a^n ＝ a^(m−n)	割り算は指数を引く	単位の換算、静電気の 10⁻¹² の計算
a^(−n) ＝ 1/a^n	マイナスの指数は逆数	µ＝10⁻⁶、ε₀＝8.85×10⁻¹²
√a × √b ＝ √(ab)	平方根の掛け算	√2×√3＝√6≒2.449
1/√3 ＝ √3/3	分母の有理化	Δ結線の相電流、三相の計算の整理
y ＝ kx（比例）	x が2倍なら y も2倍	R＝ρℓ/S（長さ2倍で抵抗2倍）
y ＝ k/x（反比例）	x が2倍なら y は1/2	断面積2倍で抵抗1/2
y ＝ kx²（2乗に比例）	x が2倍なら y は4倍	P＝V²/R、損失 3I²R（電流2倍で損失4倍）

比の問題は速く解けます。「何倍になるか」の問題は、式に数字を入れる前に、比例か2乗かを見て答えの見当をつけると速く解けます。電圧が2倍なら P＝V²/R で電力は4倍。数字を入れるのは検算のときだけで済みます。

接頭語も指数の仲間です。単位の接頭語（k＝10³、M＝10⁶、m＝10⁻³、µ＝10⁻⁶、n＝10⁻⁹、p＝10⁻¹²）は、指数の計算とセットで使います。時定数 τ＝RC なら、10kΩ×100µF＝10×10³×100×10⁻⁶＝1s。10³ と 10⁻⁶ を掛けて 10⁻³、それに 10×100 を掛けて 1 になります。

一次方程式・連立方程式・二次方程式の公式

電験三種で最も多く使う方程式は、キルヒホッフの法則で立てる連立方程式です。二次方程式は「2乗の式を開く」形で出ることが多く、最大電力の問題は相加相乗平均で解けます。

連立方程式（キルヒホッフの法則・電池の内部抵抗）

自作の例で確かめます。電池に R＝4Ω をつなぐと2A、R＝6Ω にすると1.5A が流れました。起電力 E と内部抵抗 r を求めます。

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令和7年度下期理論問6 は、この形そのものです（抵抗を2通りに変えたときの電流から起電力を求める問題。電験王の解説では平成18年度問5 の再出題）。

二次方程式と相加相乗平均（最大電力）

解の公式は検算用です。x²−5x＋6＝0 なら、a＝1・b＝−5・c＝6 を入れて、x＝{5±√(25−24)}÷2＝(5±1)÷2 で x＝3 と 2。電験三種では解の公式を毎回使うより、「(24＋I)²＝6400 → 24＋I＝80」のように2乗を外す形や、相加相乗平均で最小・最大を出す形のほうが多く出ます。

最大電力の条件（負荷抵抗＝内部抵抗）は、この式から出ます。式を変形します。P＝E²R/(R＋r)² の分母と分子を R で割ると P＝E²/(R＋2r＋r²/R)。R＋r²/R が最小のとき P が最大で、相加相乗平均から R＝r²/R、つまり R＝r です。E＝12V・r＝3Ω なら、R＝3Ω で最大電力は E²/4r＝144÷12＝12W。

令和3年度理論問7 は可変抵抗の最大電力を求める問題で、電験王の解説も「微分積分の知識もしくは相加相乗」を使うと書いています。

三角関数と弧度法の公式（sin・cos・tan）

三角関数は、0°・30°・45°・60°・90° の sin・cos・tan の値と、sin²θ＋cos²θ＝1・tanθ＝sinθ/cosθ の2つの式を覚えれば、交流の電力・力率・ベクトルの問題に使えます。角度は弧度法（π rad＝180°）でも書けるようにしておきます。

角度	rad	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2＝0.5	√3/2≒0.866	1/√3≒0.577
45°	π/4	1/√2≒0.707	1/√2≒0.707	1
60°	π/3	√3/2≒0.866	1/2＝0.5	√3≒1.732
90°	π/2	1	0	（なし）

30°と60°は sin と cos が入れ替わる、と覚えると表の半分で済みます。

いちばん使うのは sin²θ＋cos²θ＝1 です。力率で毎回出ます。力率 cosθ＝0.8 なら、sinθ＝√(1−0.8²)＝√0.36＝0.6。有効電力と無効電力の比が 0.8：0.6 になるのはこの式からです。令和7年度上期理論問9 も、電流の無効分を sinθ＝√(1−cos²θ) で出しています。

π は180°のことです。弧度法は、瞬時値の式 i＝Im sin ωt で使います。令和7年度上期理論問8 は、sin120πt の値から時刻を求める問題でした。sin の値が 1/√2 になる角度が π/4 rad（45°）だとすぐ出れば、そこからは割り算だけ。

ベクトルと三平方の定理の公式

交流の電圧や電流は、大きさと向き（位相）をもつベクトルとして足し算します。直角に交わる2つのベクトルの和は三平方の定理 √(a²＋b²) で、角度は tan⁻¹(b/a) で出します。

自作の例です。電圧 3V と、それより90°進んだ電圧 4V を足すと、大きさは √(3²＋4²)＝√25＝5V、角度は tan⁻¹(4/3)≒53.1° 進みです。3＋4＝7V にはならない。直流の足し算との違いは、ここだけです。

令和6年度下期理論問8 は、位相が π/2 ずれた2つの正弦波を足す問題で、√(1²＋(√3)²)＝2 倍の大きさ、tan⁻¹√3＝π/3 の進みになります。数字が 1 と √3 なので、30°・60°の三角形がそのまま出てきます。

三相の √3 もベクトルから出ます。図にすると一目です。120°ずれた2つの相電圧の差をとると、二等辺三角形の底辺の長さが 2×相電圧×cos30°＝√3×相電圧になります。200V の線間電圧なら、相電圧は 200÷√3≒115.5V。

複素数の公式（j・直交形式・極形式）

交流回路の複素数は、j²＝−1 と、直交形式 a＋jb と極形式 r∠θ の行き来だけ覚えれば足ります。掛け算は「大きさを掛けて角度を足す」、割り算は「大きさを割って角度を引く」です。

公式	中身
j² ＝ −1	電気では虚数単位を i でなく j と書く（i は電流）
Z ＝ R＋jX	直交形式。R は抵抗、X はリアクタンス（コイルは＋jωL、コンデンサは −j/ωC）
｜Z｜＝ √(R²＋X²)	大きさ（インピーダンスの絶対値）
θ ＝ tan⁻¹(X/R)	偏角（位相角）
Z ＝｜Z｜∠θ	極形式。R＝｜Z｜cosθ、X＝｜Z｜sinθ で直交形式に戻る
1/(jωC) ＝ −j/(ωC)	分母の j は、分子と分母に j を掛けて −1 にして消す
(a＋jb)(a−jb) ＝ a²＋b²	共役（j の符号を変えたもの）を掛けると実数になる

割り算は共役を掛ける

掛け算は極形式が速い

(3＋j4)×(1＋j1) を直交形式で開くと、3＋j3＋j4＋j²4＝3−4＋j7＝−1＋j7。極形式なら、5∠53.1° × √2∠45°＝7.07∠98.1°。大きさ √(1²＋7²)＝√50≒7.07 と一致します。

割り算は試験に毎回出ます。令和8年度上期理論問9 は、単相3線式の線電流を、負荷のインピーダンスを複素数で書いて求める問題でした。100V や 200V をインピーダンスで割る計算が3回続くので、共役を掛ける手順が身についているかで時間が大きく変わります。令和6年度上期理論問13 も、直列の r と L を並列の形に直すのに、アドミタンス Y＝1/(r＋jωL) の割り算。

指数関数と対数の公式（e と dB）

過渡現象では e^(−t/τ) を使い、時定数 τ のときに放電で36.8%が残り、充電で63.2%まで上がります。増幅器の利得は dB で表し、電圧の比なら 20log10、電力の比なら 10log10 をとります。

経過時間	e^(−t/τ)（放電で残る割合）	1−e^(−t/τ)（充電の割合）
τ	0.368（36.8%）	0.632（63.2%）
2τ	0.135（13.5%）	0.865（86.5%）
3τ	0.050（5.0%）	0.950（95.0%）
5τ	0.0067（0.67%）	0.993（99.3%）

令和5年度下期理論問10 は、RC 回路の放電で「τ 後に電源電圧の0.368倍になる」が正しい記述として出ています。0.368 と 0.632 の取り違えが、得点の分かれ目。

dB は掛け算を足し算に変える道具です。電圧が100倍なら 20×log10 100＝20×2＝40dB、電力が100倍なら 10×2＝20dB。電圧が半分なら 20×log10 0.5＝20×(−0.301)≒−6.0dB です。dB は足し算できるので、20dB の増幅器と 40dB の増幅器をつなぐと全体で60dB（電圧で1,000倍）。令和5年度下期理論問13 は、この「段ごとの dB を足す」考え方で、2段目の増幅器の利得を求める問題でした。

近似式の公式（小さい x のとき）

x が1よりずっと小さいとき、(1＋x)ⁿ≒1＋nx と √(1＋x)≒1＋x/2 が使えます。電圧の変化が小さいときの電力の変化や、送電線の電圧降下の近似式の考え方に出てきます。

近似式	使える条件	例（自作）
(1＋x)ⁿ ≒ 1＋nx	｜x｜が0.1以下くらい	電圧が2%下がると、電力は (0.98)²＝0.9604≒1−2×0.02＝0.96 → 約4%減
√(1＋x) ≒ 1＋x/2	同上	√1.02≒1.01
1/(1＋x) ≒ 1−x	同上	1/1.05≒0.95（正しくは0.952）

近似は電力科目でも使います。電力科目の電圧降下の式 v≒√3I(Rcosθ＋Xsinθ) も、送電端と受電端の電圧の角度の差が小さいとして、ベクトル図の一部を省いた近似式です。式が「≒」で書かれている理由がわかると、どこまでの精度で答えればよいかの見当がつきます。

電験三種の数学でよくある間違いと見直しの順番

数学の間違いは、√3 の付け忘れ、20log と 10log の取り違え、0.368 と 0.632 の取り違え、複素数の割り算で共役を掛け忘れる、の4つが大半です。答えを出したら、係数と単位を最後に見直します。

よくある間違い	正しい考え方
三相の電力を VIcosθ で出す	三相は P＝√3VIcosθ（V・I は線間電圧・線電流）
電圧の比を 10log10 で dB にする	電圧・電流は 20log10、電力は 10log10
τ のときの充電を 36.8% とする	充電は 63.2%、放電で残るのが 36.8%
(6＋j8) で割るとき、分子だけに j を掛ける	分子と分母に共役 (6−j8) を掛け、分母を実数にする
3V と 4V（90°ずれ）を足して 7V	ベクトルの和で √(3²＋4²)＝5V